Je crois que le quand peut être réduit à 1963-64, et par qui , probablement, un membre Bourbaki. Dans le traité, une borne inférieure et supérieure sont

• Intégration, Chap. 7-8 ( 1963 ): utilise toujours $ \ to $ (par exemple, p. 10, 121; qui revient à 1891 ou 1905 !)
• Intégration, chap. 1-4, 2e éd. ( 1965 ): utilise désormais $ \ mapsto $ (par exemple, réimpression non modifiée, p. 4).

Parmi les volumes publiés entre, je n'ai pu voir que cet extrait pertinent (similaire, mais différent de celui de M. Allegranza) dans Théorie des ensembles, Fascicule de résultats, 4e éd. ( 1964 ), p. 13 - 14:

Lorsqu'une relation de la forme $ y = \ langle x \ rangle $ (où $ \ langle x \ rangle $ désigne une combinaison de signes dans laquelle peut figurer $ x $) est une relation fonctionnelle en $ y $, on désigne parfois la fonction qu'elle détermine par la notation $ x \ to \ langle x \ rangle $, ou simplement par $ \ langle x \ rangle $, ce qui est un abus de langage très fréquent (par exemple, sur la parlera de la fonction $ \ sin x $ dans $ \ mathbf R $). On notera que le sens de la flèche $ \ to $ est alors tout à fait différent de celui qui lui a été attribué ci-dessus; pour cette raison, on remplace souvent la notation $ x \ to \ langle x \ rangle $ par la notation différente $ x \ mapsto \ langle x \ rangle $ pour éviter toute ambiguïté. Par exemple, si $ \ mathrm X $, $ \ mathrm Y $ sont deux parties d'un ensemble $ \ mathrm E $, la relation $ \ mathrm Y = \ complément \ mathrm X $ est fonctionnelle en $ \ mathrm Y $, et il y a lieu de désigner par $ \ mathrm X \ mapsto \ complment \ mathrm X $ application de $ \ mathfrak P (\ mathrm E) $ dans lui-même qu'elle détermine, pour éviter de confondre avec une application de $ \ mathrm X $ dans $ \ complément \ mathrm X $.

Les autres premières publications de $ \ mapsto $ par des bourbakistes sont

• Borel, Serre, Bruhat et Lang, séminaire Bourbaki nº 265, 270 ( février 1964 ) et 271, 274 ( mai 1964 ) (déjà dans l ' édition de 1964: p. 265-01, 270-03, 271-02, 274-04);
• Borel et Tits, Groupes réductifs ( 1965 ), p. 57;
• Thèse de Demazure, Schémas en groupes réductifs ( 1965 ), p. 370: "Nous employons dans cet article le signe $ \ mapsto $ en lieu et place du signe $ \ sim \! \ Rightarrow $ utilisé antérieurement."
• Exposés de Demazure sur le SGA 3 ( 1962/64 ), p. 5, mais uniquement dans la version Springer Lecture Notes ( 1970).

Enfin, le passage précédent d'un $ \ surchargé à $ au les proto-mapssto $ \ sim \! \ rightarrow $ (ou $ \ rightsquigarrow $) semblent avoir été faites par Grothendieck entre les séminaires Bourbaki nº 182 et nº 190 (1959) , et en version imprimée entre EGA Chap. II et Chap. III (1961). (Il est resté avec $ \ rightsquigarrow $ beaucoup plus longtemps, jusqu'à au moins nº 290 (1965, p. 202) et Chap. IV (1967).)

Note ajoutée. J'ai demandé à Michel Demazure, qui me permet gentiment de partager ces souvenirs:

1. Dans son esprit, l'innovation (et la standardisation) venait de Bourbaki.

2. Il pense l'avoir appris d'eux grâce à Grothendieck avant de rejoindre, et non l'inverse.

3. Il semble se souvenir que Serre a utilisé $ \ rightsquigarrow $ dans ses conférences au Collège de France (tableau noir) avant 1959.

4. Ils appelaient $ \ rightsquigarrow $ «tortillon» et $ \ mapsto $ «poussoir».

5. En adoptant un symbole, une considération importante était sa disponibilité dans le système Typit.

(On peut en effet voir ce système utilisé pour $ \ rightsquigarrow $ et $ \ mapsto $ par exemple dans les séminaires de 1964, pp. 368, 403, 418.)

Remarque supplémentaire. Bourbaki ($ x \ mapsto y $), Church ($ \ lambda xy $) et Frege ($ \ grave xy $) ont d'autres antécédents: $ \ newcommand {SS} {\ mathrel {\ style {display: inline-block; transform: rotate (.25turn);} {\ mathrm S}}} $

• L'étude Eduard est apparemment née $ x \ à y $, initialement composée $ x \ rightarrowtail y $ ( 1905, 1891).

• Peano utilisait $ y | x $ et plus tôt $ y \, \ overline x $:

  ( 1900, p.38): soit $ A $ une expression contenant la variable lettre $ x $; par $ A | x $, que l'on peut lire «l'expression $ A $ considérée comme une fonction de $ x $», on indique le signe de fonction $ u $ qui, écrit devant $ x $, produit la formule donnée $ Un $. (...) Par exemple: $ a ^ n / n! \, | N $ représente le signe de fonction qui pour la valeur $ n $ de la variable a la valeur $ a ^ n / n! $.

  ---

  ( 1898, p. VII): Le signe $ | $ est le signe d'inversion. Dans des travaux antérieurs, il avait la forme $ \ overline {\ phantom {m}} $.

  ---

  ( 1897, pp. 2, 58): soit $ a $ une expression contenant la variable lettre $ x $. On indique par $ a \, \ overline x $ le signe de fonction $ f $, tel que l'on a $ fx = a $. On a donc $$ (fx) \, \ overline x = f. $$ E. g. $ x ^ 2-3x $ est une expression contenant $ x $; si nous mettons $$ f = (x ^ 2-3x) \, \ overline x $$ nous aurons $ fx = x ^ 2-3x $. La valeur de $ fx $ pour $ x = 5 $, ou $ f5 $, sera donc indiquée par $$ (x ^ 2-3x) \, \ overline x \, 5 = 10. $$

• Eisenstein a utilisé $ x \ SS y $, ce que Peano et al. ( 1901, p. 173) cite comme précurseur de $ y | x $ même si son utilisation n'est pas tout à fait la même:

  ( 1847, p. 211): Pour pouvoir m'exprimer plus brièvement, je vais représenter le concept de Substitution par un signe spécial, disons par le signe $ \, \ SS $, dont l'introduction est urgente dans de nombreuses investigations, chaque fois que l'on traite des valeurs que certaines expressions prennent lorsque d'autres expressions, dont les premières sont des fonctions, changent de forme ou de valeur. Ce signe $ \, \ SS $, qui sauve beaucoup de mots, se lit dans une prémisse (hypothèse): «Si l'expression à gauche du signe est remplacée par celle à droite», et dans la conclusion qui suit (thèse) : "Ensuite, le côté gauche passe dans le côté droit." Par exemple. la proposition, si $ A \ SS B $, alors $ C \ SS D $ se lit comme suit: si on remplace $ A $ par $ B $, ou si $ A $ passe dans $ B $, alors $ C $ passe dans $ D $ ou $ D $ remplace $ C $.

Une bonne source pour ce type de questions est le site Web de Jeff Miller sur les premières utilisations des symboles mathématiques. Cette notation est récente (par contre, l'utilisation des flèches pour les limites remonte à Riemann). La version originale a été introduite par Ore dans L'Agebre Abstraite (1936), mais sans la barre verticale:

" Nous dirons que deux systèmes algébriques $ S $ et $ S ' $ sont homomorphes (par rapport à l'addition et à la multiplication) s'il existe une correspondance $ a \ à a '$ entre les éléments de $ S $ et $ S' $ donnant à chaque élément $ a $ de $ S $ une image unique $ a '$ in $ S' $ tel que chaque élément de $ S '$ soit l'image d'au moins un élément de $ S $ et de plus tel que si $ a \ à a' $, $ b \ à b '$ nous avoir $ a + b \ vers a '+ b' $ et $ ab \ vers a'b '$ ". [traduction mienne]

En 1939, Bourbaki a commencé à utiliser " la application $ x \ to f (x) $ ", et elle s'est répandue partout avec leur volumes. La version la plus ancienne de la notation $ f: X \ à Y $ semble être dans un article de Hurewicz-Steenrod de 1940. Les topologues algébriques y ont pris goût, et c'était une bénédiction pour l'algèbre homologique émergente selon MacLane:

" Au début, la notation de flèche vive $ f: X \ à Y $ pour une carte n'était pas disponible, et les homomorphismes des groupes d'homologie (ou anneaux) étaient toujours exprimés en termes du groupe ou des anneaux de quotient correspondant. Ainsi, la longue séquence exacte familière des groupes d'homotopie d'une fibration a été à l'origine décrite en termes de sous-groupes et de groupes quotients; c'est le style utilisé par les trois découvertes de la séquence et du théorème d'homotopie couvrant [...] L'apparition de les séquences exactes de groupes d'homologie (mais pas le nom «exact») ont été notées pour la première fois par W. Hurewicz en 1941 [...] La pratique consistant à utiliser une flèche pour représenter une application $ f: X \ à Y $ est apparue en même temps Je n'ai pas été en mesure de déterminer qui a introduit cette notation commode pour la première fois; il se peut qu'elle soit apparue en premier sur le tableau noir, peut-être dans les conférences de Hurewicz et elle est utilisée dans l'article Hurewicz-Steenrod, soumis en novembre 1940 ... "

La distinction pédante entre $ \ to $ et $ \ mapsto $ est le travail des auteurs de manuels ultérieurs. Commentaires Cabillon sur le NCTM Math Forum (merci à François Ziegler pour avoir lié le fil):

" La notation" une flèche barrée f (a) " [ie $ a \ mapsto f (a) $] est assez moderne, j'oserais dire. Je n'ai pas été en mesure de déterminer qui a introduit cette notation en premier, mais je suppose qu'elle est venue avec la vogue "New Math" du début des années 60. La première fois que j'ai rencontré cette notation, c'était dans les livres français.

Merci pour les réponses utiles à ce jour. Je trouve la réponse de William Waterhouse dans la discussion liée à par François Ziegler très intéressante.

Il témoigne de ce qui suit

1) La "flèche barrée" $ \ mapsto $ a presque certainement été introduite entre 1960 et 1965.

2) Elle est apparue après une période d'au moins une décennie (probablement plus) pendant laquelle la flèche simple $ \ à $ a été utilisé de manière ambiguë [pour désigner à la fois le type d'une fonction (domaine / codomaine), ainsi que sa description d'élément à élément].

3) Je ne sais pas qui l'a inventée, mais il l'a certainement fait ne proviennent pas du mouvement de réforme scolaire «New Math» aux États-Unis.

4) Je suppose (bien que je ne puisse pas entièrement le soutenir), c'est que le besoin d'un symbole distinct s'est fait sentir à cette époque simplement parce qu'il y avait plus de situations où l'ambiguïté était une source possible de confusion.

et il écrit également ce qui suit

Il y a un élément de preuve supplémentaire qui prend en charge à la fois 1) et 4) et est probablement inconnu:

Au tout début des années 1960, on trouvait parfois la notation

/\/\/\-->

(c'est-à-dire un mouvement au début de la flèche) dans le signifiant qui a été bientôt repris par | ->. (Je dois dire que cela ressemble beaucoup à un endroit approprié pour rappeler la routine de "ponctuation phonétique" de Victor Borge.)

Je ne sais pas si cela est apparu dans des publications "formelles". (En revenant, je vois que j'utilisais déjà | -> en tant qu'étudiant diplômé en 1966.) Je l'ai dans mes notes d'un cours d'algèbre enseigné par John Tate au printemps 1962, et cela se produit dans une publication semi-formelle cela devrait être dans certaines bibliothèques:

Dieudonné, Jean Alexandre Géométrie algébrique [College Park], 1962 Maryland. Université. Département de mathématiques / Notes de cours; n ° 1 (numéro de la Bibliothèque du Congrès) QA564.D5

Ensuite, il y a aussi une réponse intéressante d'Emili Bifet à propos de Riemann utilisant la flèche simple $ x \ to y $ pour désigner l'action élément à élément d'une fonction, même avant Ore (1936 ). (Et ne pas désigner le passage à une limite comme dans $ \ lim_ {x \ to 0} $.) Voici ma traduction de ce que Riemann a écrit:

II. Les intégrales d'une équation différentielle linéaire du second ordre en un point de branchement (Extrait d'un cours du semestre d'hiver 1856/57.)

Si $ a $ est un point de branchement de la solution d'une équation différentielle linéaire de seconde commande et, comme $ x $ se déplace dans le sens horaire autour de $ a $, $ z_1 $ passe à $ z_3 $ tandis que $ z_2 $ passe à $ z_4 $, ce qui sera noté par $ z_1 \ à z_3 $ et $ z_2 \ to z_4 $ pour faire court, alors $$ z_3 = t z_1 + u z_2 $$

$$ z_4 = r z_1 + s z_2. $$

Si $ \ epsilon $ est quelconque constante, puis $$ z_1 + \ epsilon z_2 \ à z_3 + \ epsilon z_4. $$

...

Depuis maintenant $$ z_1 (x - a) ^ {- \ alpha} \ to z_3 (x - a) ^ {- \ alpha} e ^ {- 2 \ alpha \ pi i} $$

il doit contenir

$$ z_1 (x - a) ^ {- \ alpha} \ to z_1 (x - a ) ^ {- \ alpha} + (z_1 + \ epsilon z_2) k (x - a) ^ {- \ alpha}. $$

Depuis plus

$$ \ frac {k} {2 \ pi i} (x - a) ^ {- \ alpha} (z_1 + \ epsilon z_2) l (x - a) \ vers \ frac {k} {2 \ pi i} (x - a) ^ {- \ alpha} (z_1 + \ epsilon z_2) l (x - a) + k (x - a) ^ {- \ alpha} (z_1 + \ epsilon z_2), $$ ...

Dans la terminologie moderne, il parle apparemment de la carte de monodromie le long d'un chemin dans un domaine complexe. Bifet écrit également que la notation des flèches dans l'analyse (limites) est due à Leathem (vers 1905) qui est d'accord avec ce que le site Web de Jeff Millers dit à ce sujet.