Question:
Sous quelle forme le domaine des métamathématiques existe-t-il aujourd'hui?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
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J'étais en train de réécrire l'article de Wikipédia pour les métamathématiques, et il était très difficile de trouver des références après les années 1930. Les travaux les plus importants semblent avoir été le théorème d'exhaustivité et d'incomplétude de Gödel.

Existe-t-il aujourd'hui un domaine des mathématiques qui est le successeur spirituel des métamathématiques étudiées par Gödel, Hilbert et les auteurs de Principia Mathematica?

J'aime cette question car elle exclut l'utilisation de wikipedia pour la réponse! :)
Cela fait un moment que je n'ai pas lu GEB ("Godel Escher Bach"; Hofstadter) mais cela pourrait donner une piste ou est-ce que ça finit avec Turing (c'est-à-dire pas loin de Godel!)?
Un vote positif pour avoir essayé d'aborder ce sujet sur Wikipedia.
Deux réponses:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
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De nos jours, la métamathématique fait partie intégrante du paysage de la logique mathématique.

D'une part, la plupart des travaux sur les fondements des mathématiques devraient probablement être considérés comme métamathématiques. La base standard est la théorie des ensembles, ZFC et ses variantes étant les formalisations habituelles. Mais ce n'est de loin pas la seule option et, par exemple, il y a des travaux récents sur ce que nous appelons maintenant des fondations univalentes basées sur la théorie abstraite de l'homotopie. Dans un sens, c'est peut-être plus proche de Principia que de ZFC, car la théorie des types joue un rôle sérieux. En revanche, l'approche est vraiment théorique des catégories, et les catégories n'étaient pas vraiment conçues à l'époque de Principia. Bien que cette nouvelle approche reçoive une grande attention, la communauté des logiciens dans son ensemble commence seulement à comprendre sa portée et ses possibilités. Une récente série de discussions sur la liste de diffusion FOM (fondations des mathématiques) illustre la tension actuelle.

Une grande partie de la recherche dans les domaines standard de la logique mathématique est motivée par des considérations métamathématiques , même si ce n'est pas dans le sens de fondations révisées.

Par exemple, les mathématiques inversées (également mentionnées dans une autre réponse) étudient la question de savoir quels axiomes d'existence d'ensemble sont réellement nécessaires pour les arguments mathématiques standard. Les résultats typiques ici soutiennent qu'un théorème standard (tel que le théorème de valeur intermédiaire dans l'analyse classique) est équivalent ou, du moins, implique (sur une théorie de fond raisonnablement faible où la discussion a lieu) un axiome abstrait d '«existence» (par exemple, tout arbre binaire infini a une branche infinie) ou une instance d'induction mathématique.

La théorie de la preuve traite les théories comme des objets mathématiques et étudie leur force, en se basant soit sur la longueur des preuves (correctement définie) par rapport à certaines options standard, soit de manière plus subtile (comme des considérations sur la soi-disant preuve -ordinaux théoriques). Par exemple, dans l'arithmétique de Peano, le système standard d'axiomes du premier ordre pour la théorie des nombres, nous pouvons facilement définir les machines de Turing, la formalisation habituelle des «programmes informatiques». On peut alors dire si une relation binaire < 'sur les nombres naturels est récursive, ce qui signifie qu'il existe un algorithme (une machine de Turing) qui peut décider de n'importe quelle paire de nombres n, m, si n<'m ou non. De nombreuses relations récursives sont en fait bien ordonnées, et étant donné une telle relation R et une théorie T (étendant l'arithmétique Peano), nous pouvons nous demander si T peut priver que R est un ordre bien. En général, la longueur des ordres de puits prouvables est significativement petite, par rapport à la longueur de tous les ordres de puits récursifs. Nous pouvons alors comparer les théories en vérifiant celles qui peuvent prouver la bonne ordonnabilité des ordres de puits plus longs (récursifs). Sur la base de cette description, cela semble un peu excentrique, mais cela est étroitement lié à la quantité d'induction transfinie que la théorie peut formaliser et prouver, donc ces ordinaux théoriques de la preuve sont en fait des mesures très raisonnables de la puissance d'expression et de force des théories.

Dans la théorie des ensembles, l'un des thèmes standard est la comparaison de la force de cohérence des théories. D'après les travaux de Goedel, nous savons qu'une théorie raisonnable T ne peut pas prouver sa propre cohérence, donc si une théorie T parvient à prouver la cohérence d'une théorie S, cela nous donne une manière naturelle dans laquelle T est plus fort que S.La force de cohérence résultante la hiérarchie est un objet mathématique fascinant. Il s'avère que pour les extensions naturelles T de ZFC, nous avons tendance à être en mesure d'identifier un grand axiome cardinal qui, ajouté à ZFC, aboutit à une théorie équivalente à T. Cela nous donne un grand compagnon cardinal de T, et l'étude purement mathématique des grands cardinaux reflète alors l'étude des forces des théories. Qu'il y ait une telle chose du tout est remarquable. La théorie des modèles internes est le domaine de la théorie des ensembles qui se préoccupe le plus directement d'essayer d'expliquer ce phénomène. L'identification proprement dite du compagnon d'une théorie, par contre, est aujourd'hui une question essentiellement combinatoire, grâce au développement par Cohen de la méthode du forçage.

Des références sur des fondations univalentes peuvent être trouvées ici et ici. Sur les mathématiques inversées, voir par exemple ici en plus du lien donné à l'autre réponse. Sur la théorie de la preuve, consultez ici. Pour la hiérarchie de la force de cohérence dans la théorie des ensembles, voir ici, bien que de nombreux articles et exposés de John Steel soient également pertinents. De plus, beaucoup de mes articles dans MathOverflow et Math.Stackexchange sont liés à ce sujet. Permettez-moi de citer celui-ci.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
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Il existe divers travaux plus récents sur des sujets qui peuvent être considérés comme des métamathématiques.

Par exemple, Reverse Mathematics a été lancé par Harvey Friedman au milieu des années soixante-dix.

Récemment, il y a eu un peu d'excitation autour de la théorie des types d'homotopie et des fondations univalentes non seulement, mais aussi parce que cela va bien avec l'effort d'avoir des preuves vérifiables automatiquement.

Et, inutile de le dire, il y a divers autres travaux en théorie de la preuve et d'autres branches de la logique mathématique. Le problème que vous percevez peut-être est ce qui est exprimé dans une réponse sur MathOverflow à une question sur les métamathématiques; les problèmes sont toujours étudiés mais ne sont plus perçus comme des méta -mathématiques mais plutôt comme "juste des mathématiques régulières".

Prendre votre question dans une direction quelque peu différente pourrait faire valoir que les efforts pour rendre de plus en plus de mathématiques se prêtent à une vérification formelle via des assistants de preuve ou même la démonstration automatisée de théorèmes est aussi la continuation naturelle et actuelle des premiers efforts pour formaliser les mathématiques.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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