Question:
Quels développements / découvertes mathématiques ont fait accepter les nombres imaginaires à l'époque (18e siècle)?
Tom Au
2014-10-29 04:42:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dans un article du Wiki sur les nombres imaginaires, il a été affirmé que "l'utilisation de nombres imaginaires n'était pas largement acceptée avant les travaux de Leonhard Euler (1707–1783) et Carl Friedrich Gauss (1777–1855 ). "

Qu'est-ce qui a motivé les contributions d'Euler et de Gauss à la théorie des nombres imaginaires? Par exemple, je sais qu'Euler a produit la formule qui a conduit plus tard au théorème de DeMoivre, mais je ne comprends pas très bien pourquoi. Et leurs vies se chevauchaient à peine, alors pourquoi personne "entre les deux" n'a pris le "témoin" d'Euler à Gauss?

(Ironiquement, René Descartes, qui se moquait des nombres imaginaires, a fondé le "cartésien" ( 2x2) système de coordonnées, qui est parallèle au plan sur lequel les nombres imaginaires sont également représentés graphiquement. Cela peut avoir été un cas de contribution "accidentelle".)

Petite nitpick: le théorème de de Moivre est en fait antérieur à l'identité d'Euler; il a été initialement dérivé par lui sous une forme en 1707, et plus tard sous sa forme familière en 1722. L'identité d'Euler n'est pas nécessaire pour prouver le théorème de de Moivre, mais simplifie considérablement la preuve.
De bonnes références pour cela sont le premier chapitre du livre de Tristan Needham * Visual Complex Analysis *, et les chapitres sur les nombres complexes dans * Mathematics and Its History * de Stillwell.
Trois réponses:
#1
+19
Danu
2014-10-29 05:11:05 UTC
view on stackexchange narkive permalink

La première utilisation sérieuse des nombres complexes consiste à trouver les racines des polynômes quadratiques, cubiques et quartiques. Cardano, dans son Ars Magna (1545), a d'abord montré que les équations quadratiques pouvaient avoir des racines (formellement) complexes, bien qu'il ne les ait pas appelées ainsi; il a dit qu'ils étaient "aussi subtils [qu'ils sont] inutiles". Dans le texte d'algèbre de Bombelli (1572), il développa les règles de l'arithmétique complexe et montra que la formule de Cardano pour le cube pouvait conduire à des solutions réelles même si les résultats intermédiaires étaient imaginaires. Au fait, on m'a dit à plusieurs reprises que la notation $ i = \ sqrt {-1} $ n'a été développée que pour se prémunir contre l'erreur courante de ' prouvant ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

Une idée clé qui a été obtenue au début du 18ème siècle est le lien profond entre les nombres complexes et la géométrie. On a observé que $ i $ pouvait être utilisé pour simplifier de nombreuses identités trigonométriques, et en 1748, Euler a découvert sa célèbre et belle formule $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (La dérivation était assez différente de celle habituellement présentée dans les manuels d'aujourd'hui; voir cette entrée dans la série Comment Euler l'a fait .)

La conception d'un nombre complexe comme un point dans le plan est une autre découverte à noter. Cette construction était déjà utilisée par Wessel en 1799, et a été redécouverte indépendamment par Argand, mais elle a vraiment gagné en popularité lorsque Gauss a publié son traité sur les nombres complexes. Ce livre a également établi une grande partie de la notation et de la terminologie modernes utilisées dans l'analyse complexe.

BTW, voici l'article original de Wessel. http://books.google.com/books?id=8jIyAQAAMAAJ&pg=PA336&dq=Nye+samling+af+det+Kongelige+danske+videnskabernes+selskabs+skrifter&hl=fr&sa=X&ei=Z0FwVMHDIb0HmsqBpage04GAse&ei=Z0FwVMHDIb0HmsqBpage04GAse ici: http://books.google.com/books?id=idM6nvbz9xgC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
Quant à la raison pour laquelle $ i $ a été introduit, une autre explication possible: on a estimé que cette importante constante mathématique méritait un nom standard, comme $ e $ et $ \ pi $. L'explication donnée dans la réponse est mentionnée dans Wikipédia, mais est marquée * [citation nécessaire] *.
#2
+6
Alexandre Eremenko
2014-10-29 07:12:58 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Juste pour compléter la réponse de Danu. Certaines personnes ont utilisé des nombres complexes depuis le 16ème siècle, cependant, l'acceptation LARGE est venue plus tard (à la fin du 18ème siècle) lorsque plusieurs personnes (Argand, Vessel, Gauss) ont découvert l'interprétation géométrique.

C'était apparemment une étape cruciale. Pourtant, ils n'étaient pas universellement reconnus. Ils disent que même Chebyshev ne les a jamais utilisés.

Autre événement qui pourrait être significatif: au début du 19ème siècle, les physiciens ont commencé à les utiliser (Fresnel).

A propos de Frenel: avez-vous une référence? Je n'ai pu trouver aucune utilisation des nombres complexes de Fresnel dans le très complet de Jed Buchwald * The Rise of the Wave Theory of Light *; Fresnel semble s'en tenir aux sinus et cosinus.
Je n'ai pas lu Fresnel. Probablement cette information vient de Whittaker, Histoire des théories de l'éther et de l'électricité, mais je dois vérifier. Plus précisément, nous parlons de réflexion interne totale (voir Wikipédia) mais je ne suis pas sûr que la dérivation de Wikipédia soit celle de Fresnel.
#3
+5
timur
2017-09-28 08:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Outre la nécessité de calculer les racines des polynômes cubiques, il existe un autre rôle plus fondamental que jouent les nombres complexes dans les équations polynomiales, qui commençait seulement à être apprécié au 17ème siècle. > théorème fondamental de l'algèbre , qui dit que toute équation polynomiale non constante a au moins une racine, si l'on admet que les nombres complexes sont des racines, c'est-à-dire si $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ sont des nombres réels tels qu'au moins un des $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ est différent de zéro, alors l'équation \ begin {équation} \ label {e: polynomial-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {equation} a une solution, à condition que $ x $ puisse avoir des valeurs complexes.Si $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , alors l'équation $ p (x) = 0 $ devient $ a_0 = 0 $, qui n'a pas de solution (complexe) lorsque $ a_0 \ neq0 $ .Ainsi, à la condition qu'au moins un des $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ est non nul (c'est-à-dire que $ p (x) $ est non constant) revient simplement à écarter ce cas trivial. de l'algèbre est miraculeux car les nombres complexes sont conçus pour résoudre n'importe quelle équation quadratique, et il est a priori concevable que nous devions introduire un nouveau type de "nombre" chaque fois que nous augmentons le degré d'une équation polynomiale .La première formulation du théorème fondamental de l'algèbre a été donnée par Albert Girard (1595-1632) en 1629, bien qu'il n'ait pas tenté de preuve; en effet, des preuves rigoureuses de ce théorème ne sont apparues qu'au début du XIXe siècle, ce qui le début d'une ère où l'existence et l'utilité des nombres complexes étaient largement acceptées.

Tout doute sur l'existence et l'importance des nombres complexes a été complètement levé après le développement de l ' analyse complexe , également connue sous le nom de théorie des fonctions .La motivation initiale pour étudier les fonctions d'une variable complexe était de les utiliser pour calculer (ou simplifier) ​​des intégrales définies réelles, et les travaux pionniers dans ce sens ont été réalisés par Euler et Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) vers 1760-1780.Leurs recherches ont été reprises plus tard dans les années 1810 par Augustin Louis Cauchy (1789-1857), qui a réalisé en 1821 que Les fonctions complexes ont une riche théorie qui leur est propre: Gauss a atteint la même compréhension dès 1811 et a joué un rôle majeur dans la vulgarisation des nombres complexes, mais il n'a pas directement contribué au développement de l'analyse complexe. Cauchy a développé à lui seul tous les résultats de base d'une analyse complexe, peut-être à l'exception de la série Laurent, qui est apparue pour la première fois dans un article soumis par Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) en 1843.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
Loading...