Question:
Qui a inventé l'ansatz exponentiel pour les équations différentielles linéaires à coefficients constants?
MrYouMath
2016-05-17 03:26:47 UTC
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Qui a inventé l'utilisation de $ e ^ {\ lambda t} $ comme ansatz pour résoudre des équations différentielles linéaires à coefficients constants?

Un répondre:
#1
+13
Conifold
2016-05-17 04:36:24 UTC
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La réponse courte est Euler. Certains détails sont donnés dans la longue citation suivante de l ' Histoire des probabilités et des statistiques de Hald et de leurs applications avant 1750 (p.438):

En 1743 Euler a résolu l'équation différentielle linéaire homogène du m-ième ordre à coefficients constants (en utilisant la même idée que de Moivre) en devinant une solution particulière de la forme $ y = c \, e ^ {rx} $ et en dérivant ainsi la caractéristique équation comme une équation algébrique du degré $ m $. Il a souligné que la solution générale sera une combinaison linéaire de $ m $ solutions particulières indépendantes. L'année précédente, il avait prouvé (de façon incomplète) qu'un polynôme à coefficients réels peut être décomposé en facteurs linéaires et quadratiques à coefficients réels, et il pouvait donc affirmer que l'équation caractéristique a toujours $ m $ racines. Il a trouvé que la solution particulière pour une seule racine réelle a la forme $ y = c \, e ^ {rx} $, pour une racine réelle de multiplicité $ k $ la forme $ e ^ {rx} $ fois un polynôme dans $ x $ de degré $ k $, et pour une paire de racines complexes conjuguées la forme $ y = e ^ {ax} (c_1 \ cos bx + c_2 \ sin bx) $, où $ c_1 $ et $ c_2 $ sont des constantes arbitraires .

En 1753, Euler a résolu l'équation différentielle non homogène de l'ordre $ m $ -th à coefficients constants en concevant une méthode pour réduire l'ordre par l'unité et ainsi successivement réduire le problème à la solution d'une équation différentielle non homogène du premier ordre ...

Dans les années 1760, Lagrange a prouvé que le théorème 1753 d'Euler est également valable pour une équation différentielle non homogène du $ m $ -ème ordre à coefficients variables pour que la solution générale puisse être exprimée au moyen de la solution de l'équation homogène et de la solution d'une équation adjointe du premier ordre.

La justification dépend évidemment du théorème fondamental de l'algèbre, et selon la sagesse conventionnelle, le raisonnement d'Euler à ce sujet avait une lacune irréparable, qui a été comblée par Gauss. Selon nos restrictions de rigueur, même Gauss peut ne pas être irréprochable, voir Dunham's Euler and the Fundamental Theorem of Algebra.

La présentation d'Euler-Lagrange d'une solution générale non homogène comme une somme de solutions générales homogènes et particulières est aujourd'hui reconnue comme une conséquence directe de la linéarité, c'est une forme générale de solution à des systèmes linéaires sous-déterminés. Mais bien sûr, cette idée n'était pas encore disponible à leur époque. La méthode pour trouver une solution particulière, connue sous le nom de la variation des paramètres, a été utilisée par Euler dans un cas particulier déjà en 1748, mais n'a reçu sa forme définitive que par Lagrange en 1808-1810. . Euler et Lagrange résolvaient des équations liées aux perturbations des orbites elliptiques des planètes et de la Lune.

"_une solution générale non homogène en tant que somme de solutions générales homogènes et particulières_" Cette idée n'était-elle pas due à [Jean Bernoulli en 1697] (https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/2/ Parker-CMJ-2014.pdf) (sa méthode de «variation des paramètres»)?
@Geremia Pas exactement. L'équation de Bernoulli est non linéaire et la solution générale n'est pas la somme mais le produit de solutions partielles. L'auteur utilise également la "variation des paramètres" de manière générique, comme dans des paramètres variables en quelque sorte, et non comme une prescription spécifique dans le cas linéaire, à la Lagrange.


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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