Question:
Quels exemples ont conduit à la définition moderne d'un espace topologique?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
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Aujourd'hui, le langage des espaces topologiques via des ensembles ouverts est fondamental dans de nombreux domaines différents des mathématiques, et il est un peu mystérieux que le même formalisme capture avec succès une si grande variété de comportements. Je peux penser à plusieurs raisons indépendantes pour inventer la définition d'une topologie, qui auraient toutes été sur les écrans radar des mathématiciens à l'époque où la définition a été étudiée pour la première fois au début du 20e siècle:

  1. Fournir une base pour le programme Erlangen de Klein et les travaux de Poincaré sur les nombres de Betti et le groupe fondamental
  2. Clarifier les fondements du calcul, par ex. le rôle de la compacité dans le théorème des valeurs extrêmes
  3. Distinguer les différentes notions de convergence de fonctions (conduisant à l'analyse fonctionnelle)
  4. Donner du sens à des arguments impliquant des configurations «génériques» en algébrique geometry

Je crois comprendre qu'il a fallu un certain temps pour que le formalisme moderne des espaces topologiques émerge, alors je me demande quels résultats ou exemples spécifiques ont été les plus influents dans son développement? Et quelles applications modernes de la théorie n'ont été réalisées qu'après sa maturation?

Je pense que Volterra et quelques autres (à partir du milieu ou de la fin des années 1880, je crois) qui ont commencé à essayer de donner un sens aux méthodes de calcul des variations en parlant de faire du calcul avec des "fonctions de courbes" (par exemple leur longueur), et l'unification ultérieure de Frechet de ces idées dans son doctorat de 1906. thèse, avait beaucoup à voir avec l'évolution des notions de topologie. Voir aussi la question mathématique Stackexchange [Origines de la définition moderne de la topologie] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
C'est une bonne question de savoir pourquoi la topologie est introduite via des ensembles ouverts. Quand ils ont été introduits à mon cours de physique à l'université - ils ne semblaient pas du tout impressionnés et la notion d'ensembles ouverts ne leur semblait pas du tout naturelle. En fait, la topologie peut être introduite via une généralisation des limites - ce qui, je pense, serait beaucoup plus naturel. Liebniz avait déjà la notion moderne de continuité sous forme embryonnaire je crois.
Deux réponses:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
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Je crois que notre définition moderne d'un espace topologique provient principalement du livre de Hausdorff Grundzüge der Mengenlehre (Foundations of Set Theory), publié pour la première fois en 1914, 2e éd. 1927. Hausdorff a commencé avec les espaces métriques, puis les a généralisés.

Bien sûr, le fond du travail de Hausdorff était le 19e travail sur la continuité, et la soi-disant "arithmétisation de l'analyse" - la tentative mettre le calcul sur une base logique solide. Les plus grands noms ici sont Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano et Cantor. Mais l'axiomatisation de la topologie générale en termes d'ensembles ouverts ou fermés est due à Hausdorff.

La version que j'ai entendue dit effectivement que c'était Hausdorff. Dans la définition d'une variété, il existe de petits quartiers cartographiés bijectivement pour ouvrir des boules dans l'espace euclidien, de sorte que là où ils se chevauchent, les cartes de transition sont continues dans l'espace euclidien. Puis Hausdorff a vu que dans la définition de "fonction continue" de $ X \ à Y $, vous n'aviez pas besoin que les voisinages correspondent à des ensembles dans l'espace euclidien, vous pourriez simplement dire pour chaque $ a \ dans X $ et pour chaque quartier $ B $ ou $ f (a) $ en $ Y $ il y a un quartier $ A $ de $ a $ en $ X $ tel que $ f $ mappe $ A $ en $ B $. ...
... Alors il a dit: et si nous prenions cela comme une ** définition ** d'un type d'espace où nous pouvons définir "fonction continue". Il a donné des axiomes pour cela, où les voisinages de points étaient la notion primitive. Plus tard, d'autres ont proposé d'autres définitions, et celle de Hausdorff s'est avérée être un léger cas particulier, et est maintenant connue sous le nom d '«espace de Hausdorff».
@GeraldEdgar J'ai entendu la même histoire, avec la torsion qu'il adaptait la définition d'une variété différentielle au cas continu plus général. Weyl était également censé être impliqué d'une manière ou d'une autre. Mais je n’ai pas été en mesure de savoir où j’ai lu ceci. Je ne pouvais pas le trouver dans The Concept of a Riemann Surface de Weyl.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
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Les espaces topologiques semblent avoir leurs racines dans le XIXe siècle. Cela a commencé, indirectement, avec la théorie des limites et des preuves delta-epsilon. Une percée majeure a eu lieu avec le développement de la théorie des ensembles (par exemple les lois de DeMorgan) entre le milieu et la fin du siècle. Cela a conduit à la "généralisation" des axiomes de limite, de convergence et de point d'accumulation en utilisant la théorie des ensembles ouverts et fermés. La topologie est parfois appelée théorie des «ensembles de points».

Les applications que vous citez sont venues «plus tard», c'est-à-dire au vingtième siècle. Il en fut de même pour les soi-disant axiomes de séparation, en commençant par les espaces de Hausdorff, en 1914, et se prolongeant au milieu du siècle. Mais les bases de ces applications ont été posées au siècle précédent.

Cela ne répond pas du tout à la question, qui demande spécifiquement des * exemples d'espaces topologiques *. Votre réponse n'est pas totalement inutile, mais je pense que ce serait mieux comme commentaire.
@JackM: Dans la question, le PO a demandé «quels résultats ou exemples spécifiques étaient les plus influents…» J'ai répondu en utilisant des «résultats», pas des exemples. Vous êtes mathématicien et vous traitez des «exemples». Je suis historien et je m'occupe des «délais». (Voir nos scores de réputation SE respectifs.) D'un point de vue historique, "ce qui a conduit à" est bien répondu par des résultats tels que "limites et preuves delta-epsilon", ainsi que la théorie des ensembles. Ma réponse remonte donc au 19e siècle. Pour certaines personnes, cette «vue d'ensemble» peut être aussi utile que des exemples contemporains.


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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