Question:
Quand et comment la compréhension géométrique des théories de jauge s'est-elle développée?
Danu
2014-10-29 02:43:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

En physique théorique, la perspective moderne de la théorie des jauges est qu'elle est décrite de la manière la plus élégante dans le «langage» de la géométrie différentielle. Je m'intéresse à l'histoire derrière ces idées.

Premièrement, il semble (par exemple cette anecdote de C.N. Yang) que les «pères» de la théorie de la jauge (physique) n'étaient pas conscients du lien profond avec la géométrie. En fait, je ne suis pas sûr que le cadre mathématique assez avancé dont on a besoin pour comprendre les théories de jauge était même en place (c'est-à-dire compris comme une théorie entièrement abstraite) à l'époque. Je pense aussi pense , mais je ne sais pas avec certitude, que la théorie mathématique des faisceaux principaux et d’autres objets et / ou structures mathématiques connexes a été développée pour la première fois de manière totalement abstraite, avant de se rendre compte à quel point elle était utile pour décrire la physique.

Je suppose que ce que je demande est un compte rendu (superficiel) de ce qui suit:

1) Quelles ont été les informations clés qui ont permis aux physiciens et aux mathématiciens de comprendre les théories de jauge dans ce domaine lumière?

2) Quand (et par qui?) ces étapes essentielles ont-elles été franchies pour la première fois?


Pour les personnes intéressées, ceci est un ( tangentiellement) la mienne, liée à la physique.SE

J'ai trouvé [ce] papier (http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/paper.pdf) un exposé juste sur l'histoire des connexions qui inclut un peu d'histoire de la jauge.
Deux réponses:
#1
+17
Logan M
2014-10-29 12:27:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Je vais me concentrer sur la géométrie des théories de Yang-Mills en particulier, mais comme le souligne la réponse de Conifold, les théories de jauge ont été étudiées géométriquement bien avant les travaux de Yang et Mills.

L'avant-propos du volume 5 des œuvres rassemblées par Atiyah (sur les théories de jauge) contient quelques commentaires historiques à ce sujet du côté des mathématiques. Vous pouvez le lire ici. C'est probablement un peu plus tard que ce que vous recherchez, car cela a plus à voir avec l'étude ultérieure des propriétés géométriques profondes de la théorie de Yang-Mills qu'avec l'interprétation (comparativement) simple de Yang-Mills en tant qu'action sur l'espace

Atiyah dit que ses propres intérêts pour le sujet ont commencé en 1977, quand il dit que l'intérêt pour les théories de jauge chez les mathématiciens commençait juste à commencer (citant l'influence de Yang dans les cercles mathématiques). Cela correspond assez bien à ses écrits. Le premier écrit inclus dans sa collection est [1]. Il cite cet article en apportant de nombreuses idées de la théorie des jauges à la communauté mathématique. Il y montre que le problème multi-instanton peut être réduit à la construction de faisceaux vectoriels appropriés sur un espace projectif tridimensionnel. La construction a été achevée en [2]. Il a écrit plusieurs autres articles cette année-là et les années suivantes sur la géométrie et la topologie des champs de Yang-Mills. Ses articles (et d'autres) à la fin des années 70 sont les plus anciens que je connaisse par des mathématiciens sur la géométrie de la théorie de Yang-Mills.

Au début des années 80, plusieurs autres personnes ont commencé à publier sur ce sujet. Certains des grands noms sont Donaldson, Hitchin et Witten. En particulier, l'étude de Donaldson des 4-variétés via des instantons dans [3] s'est avérée d'un grand intérêt. À ce stade, il était devenu clair que les équations de Yang-Mills pouvaient être utilisées à bon escient pour plus que la simple physique. Il est juste de dire que l'intérêt pour eux s'est poursuivi tout au long des années 80 et, dans certains cas, jusqu'à nos jours.

Les développements antérieurs ont été presque entièrement repris par les physiciens. Je connais moins l'histoire ici parce que les physiciens semblent moins enclins à rédiger des comptes rendus détaillés de la chronologie des événements. Il est clair qu'en 1977, les physiciens savaient déjà que Yang-Mills pouvait être envisagé en termes d'action fonctionnelle sur l'espace des connexions, bien que les conséquences géométriques n'aient pas été explorées. (Bien sûr, les physiciens avaient de plus gros problèmes à résoudre avant cela, comme comprendre comment donner de la masse aux bosons de jauge et prouver la renormalisabilité de Yang-Mills quantique.) La première source que je connaisse est celle de Popov dans [4] en 1975. En cela, il montre que l'interprétation géométrique désormais standard de Yang-Mills via les faisceaux principaux et les connexions donne les équations de Yang-Mills. Cependant, il est tout à fait possible que certaines des idées y soient venues plus tôt, même si je ne vois rien dans les citations pour indiquer cela.

Références :

[1] M. F. Atiyah et R. S. Ward: «Instantons et géométrie algébrique», Comm. Math. Phys. 55: 2 (1977), pages 117 à 124.

[2] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfel’d et Yu. I. Manin: «Construction des instantons», Phys. Lett. A 65: 3 (1978), pp. 185–187.

[3] S. K. Donaldson, "Une application de la théorie de jauge à la topologie à quatre dimensions", Jour. Géométrie différentielle 18 (1983), 279-315.

[4] Popov, D. A., "Théorie des champs de Yang-Mills", 1975, Teor. Tapis. Fiz. 24, 347.

@Danu J'ai interprété ici la "théorie de la jauge" comme signifiant les théories de Yang-Mills, mais comme Conifold le souligne correctement, l'histoire des mathématiciens qui étudient les théories de la jauge remonte géométriquement un peu avant les travaux de Yang et Mills, donc si vous préférez cette partie de l'histoire se sent libre d'accepter sa réponse à la place.
#2
+17
Conifold
2014-10-31 00:07:57 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Je vais me concentrer sur l'histoire avant l'article de Yang-Mills. Le premier signe avant-coureur fut l'introduction du potentiel scalaire pour le champ gravitationnel par Lagrange en 1773. En 1864, Maxwell introduisit le potentiel vectoriel pour le champ magnétique, qui peut être interprété comme une forme de connexion, faisant de la théorie magnétique la première théorie de la jauge avec le recul. Dans le célèbre article de 1905, Einstein a joint les potentiels scalaires et vectoriels en un potentiel à 4, qui est une forme de connexion sur le fond à quatre dimensions. Dans le même temps, les développements de la géométrie différentielle ont conduit à un autre type de connexion, la riemannienne, sous forme de dérivée covariante. Les symboles de Christoffel en ont été la première apparition, et Ricci et Levi-Civita ont développé la théorie basée sur la «différenciation absolue» (dérivés covariants) systématisée dans leur livre de 1900.

Mais cela se qualifie davantage comme un pré- histoire. La véritable histoire de la théorie des jauges commence dans les articles d'Hermann Weyl de 1918 à 1920, où il a rassemblé différents volets qui se sont développés jusqu'à ce point. Ironiquement, Weyl était également motivé par la théorie de la gravité, la relativité générale. Tout d'abord, il a remarqué que l'on n'a pas besoin d'une métrique riemannienne pour définir le transport parallèle, ce qu'on appelle maintenant la connexion affine suffit. Il s'est alors rendu compte que la géométrie riemannienne n'est pas entièrement locale, les longueurs des vecteurs en différents points, étant des nombres, peuvent être comparées au sens absolu. Pour le localiser entièrement, il est passé à des métriques conformes accompagnées d'un champ d'échelles, dans les sections terminologiques modernes d'un faisceau principal avec la fibre le groupe multiplicatif de nombres réels positifs $ R ^ + $. Le transport des échelles (jauges) nécessite de spécifier une forme 1, une forme de connexion principale, et leur changement induit une transformation de cette forme, une transformation de jauge. Weyl a alors formulé pour la première fois le principe de l'invariance de jauge, la forme des lois naturelles devant être invariante sous les changements locaux de jauge.

Puisque les formules qu'il a obtenues étaient identiques à celles de l'électromagnétisme, Weyl a supposé que la courbure de sa connexion d'échelle était exactement le champ électromagnétique. Il a même écrit des équations couplées pour les champs électromagnétiques et gravitationnels produisant la première théorie des champs unifiés (Kaluza a proposé sa théorie à cinq dimensions à peu près au même moment, il a publié en 1921). Malheureusement, ce n'était pas physique, comme Einstein l'a souligné brièvement.

Weyl est revenu à l'idée de jauge en 1929, du point de vue de la mécanique quantique. Cette fois, au lieu du champ des échelles, il a utilisé le champ des phases, qui est remplacé $ R ^ + $ par U (1) comme fibre. Les formules sont presque les mêmes, sauf pour la présence de i, il n'a jamais considéré les faisceaux principaux non abéliens. En 1930, Dirac a utilisé des faisceaux U (1) non triviaux pour décrire les monopôles magnétiques. Ces développements sont décrits en détail par Varadarajan dans son document d'enquête.

Après Weyl, les chemins mathématiques et physiques divergent à nouveau. Elie Cartan a utilisé des connexions spécialisées pour étudier les systèmes pfaffiens en 1926, ils vivaient sur des faisceaux de fibres avec des fibres étant des espaces homogènes (géométries kleiniennes), son travail a solidifié la vision des connexions comme des formes 1 à valeurs matricielles. Deux grands développements sont survenus en 1950, Koszul a donné une description algébrique générale des connexions sur des faisceaux vectoriels en tant que dérivés covariants, et éliminé le besoin d'objets non tensoriels comme les symboles de Christoffel. Ehresmann, l'élève de Cartan, a finalement donné une définition générale de la connexion sur un bundle principal, abélien ou non, et a clarifié la relation générale entre les connexions sur le principal et les bundles associés. Sa notion de connexion était cependant très abstraite, une distribution horizontale dans le faisceau tangent à l'espace total, qui peut être utilisée pour définir directement le transport parallèle.

Lorsque Yang et Mills ont introduit dans leur article la première théorie de jauge non abélienne (avec SU (2) comme fibre) en 1954, ils n'étaient pas au courant de ces développements mathématiques, la relation entre les principales connexions et les champs de jauge était clarifié dans les années suivant leur publication.

Les idées de Weyl sont exposées de manière très détaillée avec les travaux d'Utiyama et Yang et Mills dans l'Avènement de la théorie de la jauge par Oraifeartaigh voir http://www.amazon.com/Dawning-Gauge-Theory-Lochlainn-ORaifeartaigh/dp/0691029776 par exemple .
Le potentiel 4 a été introduit par Minkowski dans son célèbre article de 1907, et non par Einstein.


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
Loading...