Question:
Quelle preuve y a-t-il que Fermat avait une preuve de son dernier théorème?
Carlos Bribiescas
2014-10-29 02:11:41 UTC
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Mis à part le fait que Fermat était un génie, est-il probable qu'il ait effectivement eu une preuve?

Quelques détails qui, je pense, pourraient pointer d'une manière ou d'une autre:

  • Les mathématiques de son époque lui permettraient-elles de le prouver de la même manière que Andrew Wiles l'a fait?
  • Avons-nous perdu une grande partie de ses œuvres?
  • Est-ce quelque chose qu'il a fait fréquemment? C'est-à-dire qu'il avait une épreuve sur un papier et le prouver plus tard dans un autre papier?
Il est hautement improbable qu'il ait eu une preuve du tout, nous n'avons qu'à voir aux tentatives ultérieures de la preuve de ce résultat par d'autres comme Kummer, et pouvons deviner que même si Fermat pensait avoir une preuve, il doit très certainement avoir eu tort.
C'est la preuve: https://www.quora.com/How-did-Fermat-so-simply-discover-and-proved-the-truth-of-his-own-wonderful-conjecture-for-infinately-many -entiers-pas-seulement-de-la-forme-4n / answer / Bassam-Karzeddin-1? srid = 2rMF
Trois réponses:
#1
+69
Logan M
2014-10-29 08:25:08 UTC
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L'autre réponse est correcte. De plus, il existe des preuves significatives que Fermat n'avait pas de preuve du théorème maintenant connu sous le nom de Dernier théorème de Fermat.

Premièrement, nous devons noter que Fermat n'était pas un mathématicien professionnel, seulement un amateur. Il n'a jamais publié de mathématiques lui-même. Avec juste cela, il ne semblerait pas étrange qu'il n'ait pas publié sa preuve. Cependant, son fils Samuel a décidé de rassembler les écrits et les lettres de Fermat. La fameuse marge qui était trop petite pour la preuve était la marge de la copie de Fermat de l ' Arithmétique de Diophantus. Fermat a probablement écrit cette note vers 1630 quand il a commencé à étudier ce texte.

De ses écrits et lettres, nous voyons une tendance commune. Presque tous les problèmes que Fermat a mentionnés avoir résolus ont été inclus dans son travail plus d'une fois, étant généralement reformulés comme des problèmes de défi qu'il a ensuite envoyés à divers mathématiciens avec lesquels il était en correspondance. Cependant, FLT n'apparaît qu'une seule fois, dans cette marge. Il n'est plus jamais mentionné dans les écrits que Samuel a pu trouver. En supposant qu'il avait vraiment une (longue) preuve qui n'était pas incorrecte, il l'aurait probablement écrit ou en aurait discuté avec d'autres mathématiciens, comme il l'a fait pour pratiquement tous les autres résultats qu'il a trouvés.

En fait, dans ses écrits, nous trouvons plus tard des références à des cas particuliers du théorème (voir Wikipédia, Preuves du dernier théorème de Fermat pour des exposants spécifiques). Les deux cas $ n = 3 $ et $ n = 4 $ se retrouvent dans ses écrits ultérieurs. Il n'est pas clair s'il connaissait une preuve pour le cas $ n = 3 $, mais s'il l'a fait, elle était inconnue au moment de sa mort et aucune n'a été trouvée avant Euler en 1760. Cependant, il a envoyé plusieurs lettres, en 1636, 1640 et 1657, contenant ce cas comme un problème. La seule preuve survivante de Fermat équivaut à une preuve du cas $ n = 4 $. Il lui semblerait très étrange d'énoncer le problème en 1630 pour tout $ n $, puis dans des écrits beaucoup plus tardifs, de se spécialiser dans deux cas.

Dans cet esprit, il semble qu'il y ait trois possibilités.

  1. Fermat n'a jamais voulu prétendre qu'il connaissait une preuve de FLT pour tout $ n> 2 $, et seulement voulait énoncer FLT comme une conjecture. Il peut avoir eu l'intention de se spécialiser à $ n = 3 $ et / ou $ n = 4 $. C'était, après tout, une écriture privée d'un mathématicien amateur qui apprenait juste la théorie des nombres. Il n'a jamais été destiné à être communiqué à d'autres et dans ses communications, nous ne pouvons trouver aucune indication d'une telle réclamation. On ne sait pas ce qu'il aurait voulu dire par la note dans la marge.

  2. Fermat croyait avoir une preuve de cela pour tout $ n> 2 $ à l'époque. Cependant, il avait tort et il l'a très probablement découvert lui-même, peut-être en essayant d'écrire la preuve. Cela expliquerait ses spécialisations ultérieures dans les cas $ n = 3 $ et $ n = 4 $, eux-mêmes non triviaux, et sa décision de ne communiquer le résultat à aucun des mathématiciens avec lesquels il était en contact. Ce que cette preuve aurait pu être exactement n'est pas clair. Depuis, beaucoup de gens n'ont pas réussi à prouver le FLT de plusieurs manières. Étant très généreux, il aurait pu faire une hypothèse similaire ou en quelque sorte équivalente à celle faite par Lamé dans sa tentative ratée de 1847, c'est-à-dire que $ \ mathbb Z [\ zeta_n] $ (où $ \ zeta_n $ est une primitive $ n $ - racine de l'unité) a une factorisation unique pour tout $ n $. Même cela aurait été bien en avance sur son temps. Mais son erreur aurait pu être quelque chose de plus banal aussi.

  3. Fermat (qui n'était qu'un amateur, quoique extrêmement doué) a trouvé une preuve élémentaire correcte de FLT qui a depuis échappé à des milliers de mathématiciens avec une technologie plus sophistiquée et une compréhension plus complète de la théorie des nombres sur une période de plus de 350 ans. Il n'a jamais écrit cela ni communiqué ce résultat à des mathématiciens, préférant ne discuter que de deux cas spécifiques. Cela ne peut pas être techniquement exclu, mais cela semble hautement improbable, et la seule preuve à l'appui est une note privée griffonnée dans la marge d'un texte par un homme qui apprenait la théorie des nombres pour la première fois.

Les deux premières possibilités semblent toutes deux raisonnables, tandis que la troisième est presque complètement absurde. Ce ne serait pas le seul cas dans lequel Fermat pensait avoir un résultat qui n'a été complètement prouvé que plus tard. Le théorème des nombres polygonaux est un autre cas majeur, qui n'a été prouvé que par Legendre pour les carrés en 1770, Gauss pour les triangles en 1796 et Cauchy en général en 1812. Gauss en particulier a jeté de sérieux doutes quant à savoir si Fermat en avait une preuve. La supposition la plus courante est la possibilité 2, que Fermat avait une sorte d'argument qui était défectueux mais qui fonctionnait peut-être pour quelques petits exposants. Pas assez de ses écrits ont survécu pour deviner ce qu'était cette méthode, et la preuve qu'il a donnée pour $ n = 4 $ ne se généralise pas de manière évidente à d'autres exposants.

Il n'est tout simplement pas possible que Fermat a découvert une preuve équivalente à la preuve de Wiles. Cela aurait été impossible; les concepts nécessaires pour comprendre la preuve de Wiles n'ont été développés qu'au XXe siècle.

La première option est cependant un non-starter, comme le dit explicitement la note marginale, "J'ai trouvé la preuve la plus merveilleuse [démonstrationem mirabilem] de ce fait ..."
@MichaelWeiss Bien que je convienne que la première option semble inhabituelle, il n'est pas possible de l'exclure entièrement. Fermat aurait pu (par exemple) simplement mentir en l'écrivant. Je ne vois aucune bonne raison pour lui de le faire, mais cela semble encore beaucoup plus probable que la troisième option.
Sans discuter si la première ou la troisième option est plus improbable, je pense que nous pouvons convenir que la deuxième option est tout à fait crédible.
Y a-t-il déjà eu un cas où Fermat a affirmé (de préférence dans des écrits privés) avoir résolu un problème, mais s'est rendu compte plus tard qu'il avait tort?
@MichaelWeiss, ce ne serait pas la première fois que quelqu'un pense à une preuve merveilleuse et simple, seulement pour découvrir un peu plus tard que toute l'idée est complètement hors-piste.
Il faut vraiment mentionner qu'à l'époque de Fermat, la notion de «mathématicien professionnel» n'avait guère de sens, et certainement très loin de ce qu'elle devint 100 ans plus tard (Bernoullis, Euler) ou 150 ou 200. Donc, dire qu'il était «un amateur» est essentiellement vide de sens. De plus, il n'y avait pas de véritable notion de "publication de revues à comité de lecture" à cette époque.
@paulgarrett Je pense que vous ne comprenez pas ma réponse. Je ne prétends pas que Fermat n'a jamais été un mathématicien de calibre professionnel de son vivant. Au contraire, il est crucial de noter que toutes les preuves suggèrent qu'il a écrit cette note * en lisant Arithmetica pour la première fois * (j'aurais probablement dû clarifier cela). En 1636, Fermat pouvait être considéré comme un mathématicien de haut niveau de son temps, mais au début des années 1630, il apprenait pour la première fois les bases de la théorie des nombres ...
... De même, alors que la "Peer Review" était très différente de ce qu'elle est aujourd'hui, Fermat a fait circuler des manuscrits de ses travaux en géométrie analytique parmi d'autres mathématiciens de confiance de l'époque, et à divers moments était en correspondance avec Mersenne, Roberval et Étienne Pascal, Carcavi et bien d'autres. Il a refusé de publier officiellement ses travaux (contrairement à la plupart des autres mathématiciens de l'époque), mais cette communication devrait toujours être considérée comme une forme de "peer review", et le fait est qu'il ne s'est jamais senti à l'aise de faire réviser le FLT revendiqué de la manière la plus courante. ses autres revendications étaient.
Je pense que (1) et (3) sont des arguments forts, mais loin d'être décisifs. Voir, par exemple, le test polynomial prime récemment découvert. Je pense que (2) est l'argument vraiment fort - si Ferman avait la preuve, il n'avait pas eu de raison de trouver des preuves spécifiques pour 3 et 4.
#2
+27
rogerl
2014-10-29 02:17:07 UTC
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Il n'y a aucun moyen pour Fermat d'avoir quoi que ce soit s'approchant de la preuve désormais communément acceptée. Presque aucun des concepts de cette preuve n'était connu sous aucune forme à l'époque de Fermat.

De plus, Fermat est connu pour publier très peu de ses preuves; presque aucun ne survit aujourd'hui, et même dans les années 1800, il y avait un doute important dans la communauté mathématique sur le fait qu'il avait des preuves pour une grande partie de ce qu'il déclarait comme un fait. (Ce n'est pas pour diminuer ses résultats; en fait, cela le rend d'autant plus impressionnant que son intuition l'a conduit à tant de résultats plus tard prouvés).

@VicAche Votre modification proposée est utile, mais elle devrait vraiment être un commentaire, pas une partie de mon message (en partie parce que c'est * votre * pensée, pas la mienne).
Je le remets là-bas: Pascal, à peu près au même moment où Fermat écrivait, a été félicité pour NE PAS faire réellement les expériences dont il a publié les résultats. Cela donne un peu plus de perspective sur le contexte dans lequel les proto-scientifiques du C17-C18 travaillaient.
@VicAche - Je suis confus; s'il n'a pas fait les expériences, comment a-t-il eu les résultats? Avez-vous des liens pour en savoir plus?
#3
+3
Misha
2017-02-12 22:49:01 UTC
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D'après les preuves dont nous disposons, il est fort probable que Fermat n'ait jamais prétendu avoir une preuve du FLT, voir la discussion approfondie sur Mathoverflow ici. Citant la réponse acceptée:

Non seulement nous ne connaissons pas la date, mais nous ne savons même pas s'il a écrit la remarque du tout. Pour autant que l'on sache, il a pu être inventé par son fils Samuel, qui a publié les commentaires de son père.

Dans ses lettres, Fermat n'a jamais évoqué du tout le cas général, mais a assez souvent posé le problème de la résolution des cas n = 3 et n = 4. Je suis presque certain que Fermat a découvert une descente infinie vers 1640, ce qui signifie qu'en 1637 il n'avait aucune chance de prouver FLT pour l'exposant 4 (et encore moins en général).

Ce commentaire n'a été fait que pour souligner notre ignorance en la matière.
Il me semble que cette citation déforme quelque peu la réponse de Franz: La phrase suivante est * "En 1637, Fermat a également énoncé le théorème des nombres polygonaux et a prétendu avoir une preuve; c'est à peu près aussi improbable que dans le cas de FLT - - Je suppose que Fermat n'a pas été très prudent ces premiers jours. "*


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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