Question:
Ancien système de numérotation chinois
rogerl
2014-10-29 02:13:20 UTC
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On a dit que l'invention du zéro était un grand pas en avant, non seulement dans la compréhension abstraite, mais dans la capacité d'introduire la notation de valeur de position et de faire des calculs; le calcul à l'aide de chiffres romains était particulièrement maladroit.

Cependant, les anciens Chinois n'avaient pas non plus vraiment de notation de valeur de position, et n'avaient pas de symbole pour zéro. Pourtant, cette culture a découvert de nombreux résultats arithmétiques assez avancés (par exemple, le théorème du reste chinois).

Alors, qu'est-ce qui a été si utile dans l'invention du zéro dans la culture occidentale?

À ma connaissance, c'était le fait que cela avait été évité. Par exemple, le théorème fondamental de l'algèbre aurait été énoncé bien plus tôt si les racines carrées négatives étaient acceptées plus lisses.
Abstraction. La valeur de l'abstraction est qu'elle nous permet de travailler formellement, sans égard au sens. L'invention du zéro était importante car elle augmente le niveau de l'abstraction, et donc diminue le besoin de garder une trace du sens.
Quatre réponses:
#1
+19
Will Orrick
2014-10-31 08:37:27 UTC
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On a dit que l'invention du zéro était un grand pas en avant, non seulement dans la compréhension abstraite, mais dans la capacité d'introduire la notation de valeur de position et de faire des calculs; le calcul en chiffres romains était particulièrement maladroit.

Zéro n'est pas nécessaire pour avoir un système de valeur de position. Le zéro n'est pas non plus nécessaire (ou suffisant) pour développer des mathématiques sophistiquées. Les Mésopotamiens avaient un système de valeur de position au plus tard en 1800 avant notre ère, mais n'avaient aucun symbole pour zéro à ce moment-là. Leur système était sexagésimal (base 60). Là où nous mettions un zéro, ils ont laissé un espace vide. (Mais seulement entre les chiffres, et non en tant que chiffre de fin, ce qui impliquait qu'une chaîne de chiffres ne définissait un nombre que jusqu'à une puissance de 60 (ce qui pourrait, en fait, être négatif). La grandeur d'un nombre devait être inféré du contexte.) Vers 200 avant notre ère, les Mésopotamiens avaient introduit un zéro de substitution, mais rien ne prouve que le zéro ait été traité comme un nombre autonome.

Les Grecs n'utilisaient pas de lieu système de valeur (bien qu'Archimède ait conçu un système de valeur de position à usage spécial pour traiter de très grands nombres dans The Sand Reckoner ) et n'a pas reconnu le zéro comme un nombre. Néanmoins, ils ont accompli de grandes choses en mathématiques, notamment en développant une géométrie axiomatique sophistiquée, en prouvant l'irrationalité de la racine carrée de 2, en prouvant l'infinitude des nombres premiers, en développant une théorie sophistiquée des rapports de grandeurs incommensurables, en développant la méthode d'épuisement et en utilisant pour calculer le volume de la sphère et l'aire d'un segment parabolique, développer la théorie des sections coniques, etc.

Les Mayas, en l'an 1000 de notre ère (et probablement bien avant), avaient un système de valeur de position qui utilisait zéro. Leur système était vigésimal (ou base 20). De plus, zéro était traité comme un nombre: le comptage partait de zéro plutôt que d'un dans leur calendrier. Leur calendrier était assez sophistiqué et ils avaient également une astronomie bien développée. Néanmoins, il ne semble pas que leurs mathématiques aient avancé très loin (même si c'est difficile à dire avec certitude, puisque la majorité de leurs artefacts ont été détruits). Par exemple, rien ne prouve qu'ils avaient un algorithme de multiplication décent.

L'exemple de la Chine a été abordé dans l'autre réponse. Le système de numération / comptage des barres était certainement un système de valeur de position. Dans ce système, une place vide était indiquée en laissant un espace plutôt que par un zéro explicite. Bon nombre des solutions aux problèmes dans les textes mathématiques chinois classiques ont été formulées sous forme d'étapes pour effectuer un calcul sur le tableau de comptage. Pour développer quelque chose comme le théorème du reste chinois ne nécessite pas de zéro. La notion "laisse le reste zéro" peut toujours être formulée comme "divise également". (Une formulation similaire aurait été utilisée dans les mathématiques grecques.) Comme déjà noté, la technologie du tableau de comptage avait un zéro implicite de substitution, mais pas un zéro à part entière. La technologie du tableau de comptage était suffisamment puissante pour permettre de nombreuses grandes réalisations, comme une estimation très précise de pi.

Alors, qu'en était-il exactement de l'invention du zéro dans la culture occidentale qui était si utile?

Le zéro moderne a en fait été inventé en Inde. La connaissance du système indien s'est répandue, d'abord dans le monde islamique, puis en Europe. Les Indiens savaient comment faire de l'arithmétique avec zéro et ont introduit la notion que $ 1/0 $ produit un résultat infini.

Je pense qu'il est clair que des systèmes de calcul efficaces peuvent être développés sans la reconnaissance d'un zéro explicite. Cela ne veut pas dire que la reconnaissance de zéro en tant que nombre n’était pas extrêmement importante. Pour ne donner qu'un exemple, la théorie des racines des polynômes devient beaucoup moins encombrante lorsque zéro (et des nombres négatifs) sont reconnus. Avant que cela ne se produise, la théorie impliquait une analyse complexe au cas par cas. La solution algébrique du cube et du quartique, découverte par del Ferro, Fontana, Cardano et Ferrari à la Renaissance, ainsi que des travaux antérieurs d'Omar Khayyam, ont vu les équations $ x ^ 3 = a $, $ x ^ 3 + bx = a $, $ x ^ 3 = bx + a $, $ x ^ 3 + bx ^ 2 + cx = d $, et ainsi de suite, sous forme d'équations différentes, chacune nécessitant un traitement individuel. La capacité de traiter de tels ensembles d'équations apparentées de manière uniforme a certainement accéléré les progrès.

#2
+12
user22
2014-10-29 02:56:23 UTC
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Le système de numérotation réussi n'avait pas de 0, même comme espace réservé, car ils n'en avaient pas besoin, selon le site Web de l'Université de St. Andrew, Chiffres chinois, en raison du développement d'un système qui avait des symboles pour les valeurs plus grandes, c'est-à-dire

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Cependant

une deuxième forme de chiffres chinois a commencé à être utilisée à partir du 4 siècle avant JC lorsque les planches de comptage sont entrées en service. Un tableau de comptage consistait en un damier avec des lignes et des colonnes.

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(Les deux images proviennent du lien ci-dessus).

Pour représenter un espace réservé «0», un espace a été laissé à sa place.

Xiahou Yang suanjing de Xiahou Yang (Manuel mathématique de Xiahou Yang) écrit au 5ème siècle après JC note que pour multiplier un nombre par 10, 100, 1000 ou 10000, tout ce qu'il faut faire est que les tiges du plateau de comptage sont déplacées vers la gauche de 1, 2, 3 ou 4 carrés. De même pour diviser par 10, 100, 1000 ou 10000, les tiges sont déplacées vers la droite de 1, 2, 3 ou 4 carrés. Ce qui est significatif ici, c'est que Xiahou Yang semble comprendre non seulement les puissances positives de 10, mais aussi les fractions décimales comme des puissances négatives de 10.

La signification des idées occidentales, selon l'article Web de YaleGlobal L'histoire de zéro (Wallin, 2002), à l'origine, zéro était un espace réservé (dans le sens où il était utilisé pour des dizaines, des centaines, des milliers, etc.). Selon l'article, c'est en Inde que la notion de zéro a commencé à avoir un sens en elle-même vers le 7ème siècle.

La signification du zéro dans la culture occidentale lorsqu'elle est arrivée en Europe au milieu du XIIe siècle. siècle à travers l'Espagne et via Fibonacci au début du XIIIe siècle, offrant aux marchands un moyen plus efficace d'équilibrer leurs comptes, avec

Les développements de Fibonacci ont rapidement été remarqués par les marchands italiens et les banquiers allemands, en particulier l'utilisation du zéro. Les comptables savaient que leurs livres étaient équilibrés lorsque les montants positifs et négatifs de leurs actifs et passifs étaient égaux à zéro.

Cela a en fait interdit le numéro, c'est pourquoi il a été nommé «chiffrement» dans les messages chiffrés basés sur les marchands pour surmonter l'interdiction.

René Descarte a pu progresser dans zéro dans ce que nous appelons le système de coordonnées cartésiennes. Avec l'origine du système de coordonnées se produisant à (0,0).

À partir de là, sans doute la plus grande innovation de la notion de zéro provenait du dilemme de la division par zéro, qui (d'après l'article):

Dans les années 1600, Newton et Leibniz ont résolu ce problème indépendamment et ont ouvert le monde à d'énormes possibilités. En travaillant avec des nombres à l'approche de zéro, le calcul est né sans lequel nous n'aurions pas la physique, l'ingénierie et de nombreux aspects de l'économie et de la finance.

Ce livre traite-t-il des progrès que les Chinois ont accomplis sans la notation zéro ou place?
Non, ils se sont concentrés sur votre question principale concernant l'impact sur la culture occidentale - les innovations chinoises pourraient presque être une question distincte.
Hmmm ... alors j'ai mal posé ma question. Oui, je voulais savoir pourquoi le zéro était une telle avancée ... mais ce que j'essayais de demander vraiment était "pourquoi les Chinois pourraient-ils faire autant qu'ils le faisaient sans zéro". Peut-être que la réponse à cette question permet de comprendre pourquoi l'invention du zéro a été (ou n'était pas) un moment décisif.
Cette question, telle qu’elle est, est très valable - car l’introduction du concept de «0» en Europe a eu un effet monumental (comme indiqué dans ma réponse). L'arithmétique chinoise serait une excellente question supplémentaire - je crois que c'est un aspect très différent.
@rogerl J'ai trouvé une excellente ressource pour ce que les Chinois ont utilisé - je vais la modifier dans la réponse
Je suis toujours perplexe quant à savoir comment différencierez-vous 10, 100, 1000, ... Lorsque nous les écrivons sur une feuille de papier vierge en utilisant un système de numérotation qui n'a pas '0' comme espace réservé.
#3
  0
Tyler Durden
2016-01-06 01:14:10 UTC
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L'intérêt d'un système numérique d'enregistrement des nombres est qu'il permet une méthode plus concise et compréhensible pour faire des calculs arithmétiques. Avant l'utilisation des chiffres hindous, l'utilisation de systèmes composites (comme les chiffres romains) était courante. Ainsi, par exemple, 83 est LXXXIII. Le système numérique moderne a été créé par Fibonacci dans le Liber Abaci , mais il a fallu littéralement des centaines d'années avant qu'il ne soit utilisé systématiquement. Pendant longtemps, il y a eu une lutte entre «abacistes et algorithmistes» pour savoir quel système était le meilleur. Il y avait même des concours et des tournois où les deux écoles différentes s'affrontaient dans des matchs d'ajout de vitesse.

Finalement, il est devenu clair qu'il était plus facile d'ajouter et de multiplier des nombres numériques que de travailler avec des valeurs fractionnaires ou composites. Cela s'est produit avec la publication du Mirifici Logarithmorum de Napier, tel qu'édité et amélioré par Edward Wright en 1616. Au début, le livre de Napier a juste été remarqué par les calculatrices, mais après que John Wallis a adopté ses méthodes vers 1660, l'utilisation de la notation numérique et des décimales est devenu universel et décisif.

Ils étaient déjà communs à Surya Siddhanta, au moins 4e siècle, probablement aussi vieux que Rg Veda.L'astronomie utilisait des concepts comme Yuga et Kalpa et utilisait le nombre d'orbites dans chaque
#4
  0
Partha Shakkottai
2019-07-21 03:12:59 UTC
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0 et la notion de valeur de position est requise pour une bonne arithmétique. Sans elle, la science, l'ingénierie et l'astronomie modernes et un calendrier et des cartes de navigation précis ne se seraient pas développés. Un exemple est montré ci-dessous.

L'importance de 0 est pour une utilité pratique précise et pas simplement pour les avantages théoriques des descriptions faciles.

La formule Bakhsh1ali (du manuscrit du 4ème siècle)

Supposons que nous souhaitons trouver sqrt (N), où N> 0. Nous exprimons N comme N = A ^ 2 + b, où | b | est petit par rapport à A (aussi petit que possible dans les limites d'une estimation facile

En prenant A = 3 et b = 1, la fraction 3 et 1/6 = 3.167; calcul, en utilisant uniquement des opérations rationnelles , c'est-à-dire +, -, *, /). En utilisant l'approximation linéaire sqrt (1 + x) = 1 + x / 2,

pour x ~ 0 (c'est l'approximation tangente) nous obtenons: sqrt (A ^ 2 + b) = A + b / Cette formule, connue des Babyloniens, donne d'assez bonnes approximations; Par exemple, pour SQRT (10), il donne, A = 3 et b = 1, la fraction 3 1⁄6 = 3,167 par rapport à 3: 162.

Mais la formule Bakhsh1ali va plus loin, en insérant un terme supplémentaire. Il déclare, en effet: dans le cas d'un nombre non carré, soustrayez le nombre de carré le plus proche, divisez le reste par deux fois ce carré le plus proche; la moitié du carré est divisée par la somme de la racine approximative et de la fraction. Ceci est soustrait et donnera la racine corrigée. Après avoir déchiffré cette recette, elle devient équivalente à la formule suivante: (A ^ 2 + b) ^ 1/2 = A + b / 2A - (b / 2A) ^ 2/2 (A + b / 2A ).

Par exemple, si N = 11 on peut prendre A = 3 et b = 2. La formule donne alors: 3 + 1/3 - 1/9 / 2 (3 + 1/3) = 3 + 1 / 3-1 / 60 = 3,31667

Comparez cela avec la vraie valeur: (11) ^ 1/2 = 3,31662. Nous voyons que bien que b soit loin d'être «petit» par rapport à A, nous avons toujours une précision de quatre décimales.

En choisissant A = 3,3 et b = 11- 3,3 ^ 2, la précision augmente jusqu'à 79201/23880, soit 3,316624790, avec une précision de 9 décimales.

https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/017/09/0884-0894



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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