Question:
Quel était le lien entre David Hilbert et Stefan Banach?
Tom Au
2014-10-29 03:14:16 UTC
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Le soi-disant "espace de Hilbert" porte le nom du mathématicien David Hilbert. Plus tard, cela a été généralisé dans les "espaces Banach" par Stefan Banach.

Je crois comprendre que Hilbert était allemand et Banach était polonais, et il ne semblait pas y avoir de " "connexion entre eux (c'est-à-dire pas plus qu'entre deux mathématiciens européens" aléatoires ", bien que ce soit un très petit cercle à l'époque). Pourtant, il existe un lien assez fort entre le travail de Hilbert et le travail de Banach.

Comment Banach a-t-il réussi à décoller le travail de Hilbert sans bien le connaître? (Par exemple, Banach semble avoir été beaucoup plus proche d'Hugo Steinhaus du théorème de Banach-Steinhaus.) Ou est-ce que les deux ont travaillé ensemble / se connaissent mieux que je ne leur ai donné le crédit?

Trois réponses:
#1
+14
Michael Weiss
2014-10-30 21:36:24 UTC
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Il convient de noter que la définition abstraite d'un espace de Hilbert (en tant qu'espace de produit interne complet) n'est pas due à Hilbert. Weyl raconte l'histoire dans son essai commémoratif, "David Hilbert et son travail mathématique" (Bull. Amer. Math. Soc. V.50 p.612-654). Dans son travail sur les équations intégrales, Hilbert n'a étudié qu'un seul espace de Hilbert: l'espace des séquences infinies sommables au carré. Il n'a pas utilisé l'intégration de Lebesgue; ce n'est que plus tard que Riesz et Fischer ont montré l'équivalence avec les fonctions carrées intégrables de Lebesgue. Weyl ajoute:

Je mentionne ces détails car l'ordre historique des événements est peut-être tombé dans l'oubli avec beaucoup de nos jeunes mathématiciens, pour qui l'espace de Hilbert a assumé cette connotation abstraite qui ne distingue plus deux réalisations ...

(Il y a aussi une histoire apocryphe selon laquelle Hilbert a assisté à une conférence, et est venu à la fin pour demander à l'orateur, "Qu'est-ce qu'un espace Hilbert?")

Banach en revanche a donné la formulation abstraite des espaces de Banach dans sa thèse, ainsi que sa motivation:

Ce présent travail a pour objet d'établir certains théorèmes qui tiennent dans plusieurs différents branches des mathématiques, qui seront précisées ultérieurement. Cependant, pour éviter de prouver ces théorèmes pour chaque branche individuellement, ce qui serait très ennuyeux, j'ai choisi une manière différente, qui est la suivante: je considère de manière générale des ensembles d'éléments pour lesquels je postule certaines propriétés. J'en déduis des théorèmes, puis je prouve pour chaque branche distincte des mathématiques que les postulats adoptés sont vrais.

En d'autres termes, Banach cherche une économie de preuve via la méthode axiomatique. Sa motivation est donc totalement différente de celle de Hilbert.

Pour revenir à votre question initiale: je n'ai pu découvrir aucun lien personnel entre Hilbert et Banach. Le nom «Banach» n'apparaît pas dans l'index de la biographie de Constance Reid Hilbert ; l'entrée MacTutor pour Hilbert ne contient pas "Banach", et l'entrée MacTutor pour Banach ne contient qu'une seule occurrence de Hilbert, où il note que le travail de Banach "a généralisé les contributions faites par Volterra, Fredholm et Hilbert sur les équations intégrales".

Cependant, cette phrase est probablement une explication suffisante. Hilbert a fait son travail sur les équations intégrales au début des années 1900, et il a été rapidement développé par Riesz, Fischer, Schmidt et d'autres. La thèse de Banach a été rédigée en 1920. Il n'est guère surprenant qu'en entrant dans ce domaine, Banach accorde une attention particulière aux travaux publiés pertinents par l'un des plus grands mathématiciens de l'époque.

Souligner que Hilbert n'a en fait pas étudié «ses» espaces de manière abstraite est vraiment un bon point à souligner.
... même si je pense que c'est une lecture intéressante et qu'il vaut la peine de la préserver, elle ne répond * pas * à la question. Pouvez-vous élargir votre réponse pour répondre à la question principale du PO?
OK, j'ai ajouté deux paragraphes.
#2
+9
quid
2014-10-30 01:27:59 UTC
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Autant que je sache, il n'y a pas de lien particulier entre Hilbert et Banach. Bien sûr, Hilbert étant l'un des mathématiciens les plus dominants de l'époque, son influence était largement répandue.

Il serait cependant aussi faux de considérer d'abord Hilbert puis Banach comme une succession directe. Il y a eu diverses influences et contributeurs dans le développement de ce que sont maintenant les espaces de Banach. [En effet, la notion a été introduite presque en parallèle par d'autres aussi, Wiener en particulier. (Banach était celui qui en a profité le plus et a obtenu à juste titre le "crédit du nom")] D'autres noms que l'on pourrait citer en plus de Hilbert incluent Fredholm, Riesz, Fischer, Fréchet, Lebesgue.

À savoir, la chronologie dans l'histoire de Pietsch des espaces et des opérateurs linéaires de Banach a 12 entrées (à partir de 1902) avant la thèse de Banachs en 1920.

Dans ce contexte, il peut être également intéressant de noter que Banach a visité Paris en 1924-25.

#3
  0
Margaret Friedland
2020-07-12 07:41:42 UTC
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Il n'y a aucune trace connue d'une quelconque rencontre personnelle entre Banach et Hilbert. Mais la connexion pas si aléatoire entre les deux était Hugo Steinhaus (découvreur de Banach, puis collaborateur et collègue), qui était un doctorant de Hilbert à G "ottingen. Thèse de Steinhaus, intitulée {\ it Neue Anwendungen des Dirichlet'schen Prinzips} et défendu en 1911, était encore assez traditionnel dans son approche des problèmes variationnels pour les équations aux dérivées partielles du second ordre.

D'autre part, la thèse de doctorat de Banach {\ it O operacjach na zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do r'owna'n ca \ l kowych} [Sur les opérations sur des ensembles abstraits avec des applications aux équations intégrales] défendu dans Lw'ow en 1920, introduit les notions fondamentales et les propriétés des espaces complets normés linéaires (de manière axiomatique), et les applique à des opérateurs intégraux définis par des noyaux. La thèse actuelle de Banach et sa soutenance sont devenues des légendes, mais au moins il existe une publication basée sur la thèse, S. Banach, {\ it Sur les op'erations dans les ensembles abstracts et leur ap plication aux 'equations int'egrales}, Fundamenta Mathematicae3 (1922), pp. 133-181 ( http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/oeuvres2/305.pdf) Dans l'introduction, Banach mentionne les travaux précédents sur les `` opérations fonctionnelles '' de Volterra, Fre'echet, Hadamard, F.Riesz, Pincherle, Steinhaus, Weyl, Lebesgue et autres. Il attribue en particulier les travaux de Hilbert, qui selon lui ont permis de traiter (les espaces des) fonctions carrées intégrables, pas seulement les fonctions lisses. C'est aussi la preuve que Banach a étudié les œuvres de Hilbert avant de visiter Paris.

De plus, en 1917, Banach et Steinhaus ont tous deux vécu à Cracovie et ont participé aux réunions d'une société mathématique informelle. Les autres membres de ce groupe étaient les mathématiciens Wlodzimierz Stozek, Wladyslaw Slebodzinski, Leon Chwistek (également philosophe et peintre) et un physicien Jan Norbert Kroo, qui ont tous passé quelque temps à étudier à G "ottingen.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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