Question:
Quelle était la notion de limite utilisée par Newton?
veronika
2019-05-09 23:10:19 UTC
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J'ai lu que la notion de limite est devenue rigoureuse deux siècles après la découverte du calcul

Qu'est-ce que Newton avait en tête concernant la notion de limite?

Le titre @MathWizard a été changé.
Il a utilisé ce qu'on appelle la conception cinématique, s'appuyant sur l'intuition du mouvement convergent: «* Ces rapports ultimes ... limites vers lesquels convergent toujours les rapports de quantités, décroissants sans limite, et vers lesquels ils se rapprochent plus que par n'importe quel différence, mais ne jamais aller au-delà, ni en effet atteindre * ". Voir [discussion de Ferraro] (https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00655601/document): "* En effet, Newton ne définit pas les termes« limite »et« rapport ultime »: ces termes ont un signification intuitive pour lui. * "
@Conifold Merci d'avoir cité Ferraro (2011). Il est en désaccord avec Pourciau (2001), mais le fondement de son désaccord reste comme simple assertion: - "différemment de ce qu'affirmait Pourciau, Newton ne définit pas le mot" limite "en se référant à des quantités qui se rapprochent d'une certaine valeur devenant inférieure à toute epsilon à quantité fixe ". Ferraro reconnaît que Newton a écrit des quantités auxquelles les rapports "se rapprochent plus que par une différence donnée". Mais il n'explique pas la différence, le cas échéant, entre cela et «moins que n'importe quelle quantité fixe epsilon», sa formulation préférée.
@terry-s Je pense que "moins que tout epsilon à quantité fixe" est une allusion à la technique de Weierstrass, que Newton n'utilise certainement pas. Une référence plus plausible pour une "approche plus proche que par une différence donnée" est la double reductio de style grec, mais même cela est surtout rhétorique. La conception cinématique d'Archimède dans On Spirals, par exemple, est plus proche de la façon dont Newton gère réellement les limites.
@Conifold: Une fois que vous avez l'idée quantifiée `` moins que toute différence donnée '' (Newton) et sa remarquable proximité avec la formulation ultérieure `` moins que toute quantité fixe epsilon '' (comptes modernes), il est difficile de voir quelle contribution est apportée à l'argument par des analogies plus lointaines avec les idées d'Archimède ou des allusions verbales implicites aux préférences de Weierstrass.
@terry-s La "proximité remarquable" est juste un artefact de la lecture de Weierstrass dans Newton, il n'y a pas de proximité avec les arguments epsilon-delta dans le texte. Un meilleur guide n'est pas la mesure dans laquelle le texte peut être étendu à la conception moderne, mais en regardant comment ses contemporains et ses successeurs du 18ème siècle le lisent, par ex. D'Alembert, l'Huilier ou Kästner. De plus, Newton était certainement familier avec le travail d'Archimède, contrairement à celui de Weierstrass, et a même stylisé Principia d'après les modèles grecs, donc cette similitude est beaucoup moins lointaine.
@Conifold: C'est un _quote_ de Newton (en traduction), il ne lit personne d'autre en lui!
@terry-s Vous voulez dire "plus près que par une différence donnée" compte comme "idée quantifiée" et "proximité remarquable"? Ne devrions-nous pas regarder ce que Newton fait réellement pour voir à quel point il est proche, et si cela équivaut à une quelconque «quantification» à la Weierstrass? À première vue, il est tout aussi proche de Proclus disant que l'angle de la corne est plus petit que n'importe quel angle rectiligne, par exemple, ou des descriptions familières génériques de la façon dont quelque chose devient «infiniment petit» utilisé d'une manière dérisoire dans les classes de calcul. Pour moi, assimiler une tournure de phrase à une technique développée deux siècles plus tard est très suspect.
Je regrette que ma réponse semble avoir agité un nid de frelons, mais je regrette également qu'une si grande partie de l'argumentation semble se dérouler sans preuves appropriées. Le «salami-slicing» rhétorique des arguments semble également en soi une manière regrettable de conduire une discussion de cette nature.
@terry-s Je vois ce que tu veux dire, moi aussi. Quand j'ai lu pour la première fois la citation des ratios ultimes (il y a longtemps), Newton m'a semblé à peu près identique au concept de limite moderne (en particulier, comme expliqué de manière informelle dans le calcul). Plus je lisais sur Newton et d'autres à son époque, moins ça ressemblait à ça. Mais vous avez raison, c'est controversé, «proche» ou «pas proche» est trop vague, et une discussion sérieuse devrait porter beaucoup plus sur le matériel source. Il est difficile de l'avoir dans un fil de commentaires. J'écrirai peut-être une réponse de mon point de vue plus tard, si le temps le permet.
Trois réponses:
#1
+10
terry-s
2019-05-10 00:01:46 UTC
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Newton avait en fait un concept assez explicite de limite, il l'a exposé dans la section 1 du livre 1 des Principes immédiatement après les définitions et les axiomes ou lois du mouvement. Il n'a pas utilisé le mot réel `` limite '' mais le concept est clairement présent dans ses `` premier et dernier ratios '', qui par ses explications se révèlent être des limites de rapports de différences finies, qui sont abordées comme la variable pertinente contrôlant la taille à la fois du numérateur et du dénominateur diminue à zéro («évanescent») ou, lorsqu'il est considéré à l'envers, augmente à partir de zéro («naissant»). Cette question n'est pas passée sans préavis dans la littérature. Une étude de Bruce Pourciau (2001), dans Historia Mathematica 28, 18-30, examine et discute la compréhension de Newton du concept de limite à travers une étude de certaines preuves apparaissant dans les Principia , avec un accent sur les parties du Livre 1, section 1.

(Quand je reviendrai à mes sources, je suis loin de la base pour le moment, je mettrai en ligne des références à la Principia dans son anglais traduction de 1729 qui est une bonne source et est en ligne libre de droit d'auteur, et d'autres sources citées ici. Pour l'instant, on peut noter que le livre 1 de la traduction de 1729 est en ligne dans The Mathematical Principles of Natural Philosophy, vol.1 de 2, et la discussion et l'explication de Newton sur les méthodes-limites s'étend de la page 41 à la page 56.)

Newton a expliqué entre autres qu'il s'est appuyé sur des limites pour justifier ses méthodes parce que les méthodes de les anciens par reductio ad absurdum (ou épuisement) étaient trop longs, et la méthode des `` indivisibles '' était trop rude, bien qu'il ait ajouté que `` par la présente la sa ma chose est exécutée comme par la méthode des indivisibles ». Quand Newton a écrit, le précurseur des méthodes «infinitésimales» qui était peut-être le plus connu était le travail très critiqué des années 1640 sur les «indivisibles» de Bonaventura Cavalieri. Newton considérait clairement que ces méthodes n'étaient pas bien justifiées, d'où son recours aux limites.

Il y a d'autres éléments qui contribuent à une réponse à la question actuelle dans Pourquoi le calcul manque-t-il dans les Principes de Newton?, (réponse en un mot, il ne manque pas, et la réponse fournit également des sources en détail sur les méthodes et les explications de Newton), et dans les descriptions d'attaques sur le calcul dans Michel Rolle a-t-il dit que le calcul est "une collection d'erreurs ingénieuses"?. Les attaques des méthodes de calcul en France à partir de 1700 environ par Michel Rolle ont été défendues par Pierre Varignon puis par Joseph Saurin, et la défense de Varignon est particulièrement pertinente ici parce qu'il s'est appuyé sur le livre 1 section 1 des Principia pour fournir la justification qui ne semblait pas disponible ailleurs. Leibniz, pour sa part, aurait été généralement respectueux de la justification de Newton en termes de limites.

@math-wizard: Je remets en question votre interprétation de la signification des «premier et dernier rapports», et je vous renvoie à la fois à la source principale, les Principia, et à la discussion de Bruce Pourciau (citée dans la réponse ci-dessus). Si vous pensez que l'on peut conclure qu'il y a des infinitésimales dans le traitement cité par Newton, pourriez-vous expliquer avec des sources la raison et la justification de cette conclusion?
Pour attribuer quelque chose à un individu, une grande partie du problème doit être résolue et une percée majeure suit. Il ne suffit pas de trouver un petit indice ou un indice. En ce sens, le calcul basé sur l'infinitésimal devrait être crédité à Newton, et non à Cavalieri ou Archimède, car la différenciation et l'intégration n'étaient connues qu'après Newton, et pas avant. Cependant, il est bien connu que Newton ne savait pas pourquoi l'infinitésimal est parfois zéro et parfois non. Leibniz et d'autres non plus à l'époque. Ce n'était clair qu'après les travaux de Cauchy et Weierstrass au 19 siècle
@Math-wizard: Je crois que vous changez de sujet et que vous ne répondez pas à la question. Où est le support probant des affirmations que vous avez faites auparavant et des nouvelles que vous faites maintenant?
La surestimation se produit souvent en mathématiques ou en sciences. Un autre exemple est d'attribuer l'arithmétique (système de valeur de position) aux Babyloniens (base 60). Ce n'est pas correct car la partie la plus importante de l'arithmétique implique 2 tables pour l'addition et la multiplication, qui ne sont possibles que pour le décimal et non la base 60. L'arithmétique dans son ensemble ne doit donc pas être créditée aux Babyloniens, même si elle a quelque chose de similaire.
@math-wizard Encore une fois les affirmations nues non étayées, je regrette d'avoir à dire, et de m'éloigner de la question. Si vous regardez cette réponse https://hsm.stackexchange.com/questions/7704/was-english-mathematics-behind-europe-by-many-years-because-of-newtons-notation/7710#7710 vous trouverez références aux travaux du XVIIIe siècle et conclusion que le calcul était déjà défendu avec rigueur. Je suis conscient que l'on dit à plusieurs reprises que c'est un «fait bien connu» que le travail n'a été effectivement fait que plus tard, Cauchy et Weierstrass, mais où trouvez-vous des preuves pour cela?
Je pense que les livres d'histoire des mathématiques de Felix Klein ou Morris Kline ou Alexandrov peuvent contenir les références de ce point de vue. Dire que le calcul a été rendu rigoureux au 18e siècle est encore une fois exagéré.
#2
+6
Conifold
2019-05-11 14:54:17 UTC
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La section 1 du livre 1 de Principia s'ouvre sur un lemme qui peut nous sembler presque moderne:

" Quantités, et les ratios de les quantités, qui en tout temps fini convergent continuellement vers l'égalité, et avant la fin de ce temps s'approchent plus l'une de l'autre que par une différence donnée, deviennent finalement égales ".

Mais une seconde réflexion soulève des doutes. Premièrement, c'est un lemme , pas une définition de limite. On suppose que la signification de «convergent continuellement» et «approche» est déjà comprise, le lemme est censé en tirer une propriété . Deuxièmement, il parle de «quantités». On parle aussi de quantités et de leurs limites. Mais Newton ne peut sûrement pas se référer à notre notion de fonctions qui attribuent des valeurs à des arguments apparus pour la première fois dans l'œuvre de Dirichlet du XIXe siècle. Ou même aux «expressions analytiques» figurant dans les manuels du 18e siècle d'Euler. Enfin, Newton n'a même pas notre idée d'une ligne réelle assemblée à partir de points servant d'arguments et de valeurs, le continuum arithmétique de Weierstrass, Dedekind et Cantor. La ligne du 17ème siècle est toujours euclidienne / aristotélicienne, avec des points comme marques simplement externes.

Il devient plus clair que les limites de Newton, quelles qu'elles soient, ne peuvent pas être modernes, ses primitifs sont différents, il travaille en un système différent de concepts mathématiques. Il pourrait y avoir un sens dans lequel l'opinion de Porciau selon laquelle Newton " a été le premier à présenter un argument epsilon " est justifiée, mais cela serait similaire au sens dans lequel Eudoxus a été le premier à travailler avec les coupes Dedekind. Cela signifie seulement que certaines de leurs manipulations peuvent être imitées de près par celles modernes, et nous acceptons d'ignorer la signification de ce qui est manipulé. Et qu'il existe une chaîne évolutive reliant les uns aux autres.

Quelles sont alors les «quantités» de Newton? On trouve une description explicite dans sa Quadrature de courbes (1692):

" Je ne considère pas ici les grandeurs mathématiques comme composées de parties extrêmement petites, mais comme générées par un mouvement continu. Les lignes sont décrites, et en décrivant sont générées, non par une apposition de parties, mais par un mouvement continu des points. Les surfaces sont générées par le mouvement des lignes, les solides par le mouvement des surfaces, les angles par la rotation de leurs jambes, le temps par un flux continu, et ainsi dans le reste. Ces genèses sont fondées sur la nature et sont chaque jour vu dans le mouvement des corps ".

Maintenant, il devient clair d'où vient la compréhension présumée de" convergent continuellement "et" approche ". Newton prend l'idée de mouvement comme donnée intuitivement , les limites avec leurs propriétés sont alors fondées sur elle. Dans le Scholium du Lemme XI de la même section, Newton fait explicitement appel à l'idée intuitive de vitesse instantanée pour justifier l'existence de limites, par exemple. Et dans le lemme 2 du livre 2, il parle de "genita", " quantités que je considère ici comme variables et indéterminées, et croissantes ou décroissantes, pour ainsi dire, par un mouvement ou un flux perpétuel ".

Cette conception des limites, et du calcul en général, reposant sur l'intuition donnée du mouvement et ses propriétés observées, a été appelée cinématique . Il a des racines dans certaines œuvres d'Archimède, comme On Spirals, où il semble s'appuyer sur quelque chose comme le parallélogramme des vitesses pour dessiner des tangentes. Le professeur de Newton, Barrow, a donné une conférence sur Archimède, et la conception cinématique des courbes est explicite dans ses Conférences géométriques, que Newton a aidé à préparer pour la publication, voir Boyer's History of Calculus, p.189. Mais dans les premières années, Newton a également utilisé des manipulations avec des infinitésimaux, héritées de Barrow de Fermat, qu'il a plus tard jugées répréhensibles. Je devrais donc être d’accord avec l’évaluation de Ferraro dans Quelques aspects mathématiques des Principes de Newton:

" En effet, Newton ne définit pas les termes« limite »et« rapport ultime »: ces termes ont pour lui un sens intuitif clair ... En effet, je pense que le concept de Newton de rapport premier et ultime peut être réduit au concept moderne de limites: il est vrai que Newton a une idée claire de ce que signifie «approcher une limite» [est], mais ce n’est qu’une idée intuitive et non mathématique qui est entièrement différente de la notion moderne, mathématique concept de limite. "

En effet, l'aspect" mécanique "du calcul de Newton a été explicitement critiqué au 18ème siècle, comme" étranger "aux mathématiques pures, par D'Alambert et l'Huillier, entre autres. Une étude complète des conceptions mathématiques du XVIIe siècle est Les modèles de pensée mathématique de Whiteside à la fin du XVIIe siècle (p.374ff sur Newton spécifiquement), sur Principia voir aussi ses Principes mathématiques sous-jacents aux Principia Mathematica de Newton. Arthur dans Leery Bedfellows: Newton et Leibnizon, le statut des infinitésimaux met en contraste la conception cinématique du calcul de Newton avec celle de Leibniz, y compris une discussion détaillée des "quantités" et du lemme 1, et les changements entre les premiers et les derniers travaux . Sur les destins ultérieurs de la conception cinématique, développée par McLaurin et encore plus que visible chez Cauchy (malgré son assimilation commune à Weierstrass, ses «variables» ne sont pas sans rappeler les «quantités» de Newton) voir le livre de Grabiner, Origins of Cauchy's Rigorous Calculus.

"Mais Newton ne peut certainement pas faire référence à ..." des expressions analytiques "figurant dans les manuels d'Euler du 18ème siècle." Pourquoi en êtes-vous si sûr?
Il me semble que dans le lemme cité, Newton ne définit pas la notion de limite, mais prouve une propriété de fonctions continues. Voici comment je l'interprète: Si deux quantités $ u $ et $ v $ sont des fonctions continues du temps $ t $ et $ \ lim_ {t \ to t_0} u = \ lim_ {t \ to t_0} v $ (convergent vers l'égalité ) puis $ u | _ {t = t_0} = v | _ {t = t_0} $ (finalement égal).
@Conifold Je crains que vous soyez sur un terrain instable en vous appuyant sur l'article de Ferraro. Par exemple. il a déclaré (p.7-8) "Newton ne fait pas la distinction entre le processus limite lim A (t) (pour x-> c), et la valeur ultime de ce processus | A (t) | (à x = c) ". Mais Newton insiste sur la distinction: «Ces rapports ultimes avec lesquels les quantités s'évanouissent, ne sont pas vraiment les rapports des quantités ultimes, mais des limites vers lesquelles convergent toujours les rapports des quantités, décroissant sans limite, et vers lesquels ils se rapprochent toute différence donnée ... »Ferraro néglige la signification de cela et bien plus encore.
@Conifold D'autres faiblesses dans le traitement de Ferraro résident (a) dans le fait de ne pas faire la distinction entre les éléments heuristiques et démonstratifs dans la section 1 de Newton (si Newton est arrivé à ses résultats en considérant le mouvement, cela ne montre pas que le mouvement est un élément essentiel du résultat une fois trouvé) et (b) en ignorant les différences de sens entre ce que Newton a réellement écrit et ses propres tentatives de reformulations modernes.
@terry-s Je ne compte pas sur Ferraro, Whiteside est beaucoup plus complet et approfondi, et puis il y a le texte source. J'ai cité la conclusion de Ferraro parce qu'elle est bien formulée, mais comme vous l'avez souligné plus tôt, il n'explique pas complètement pourquoi ce qu'il dit est ainsi. Je suis en fait d'accord avec Porciau pour dire que l'histoire "confuse de Newton" est malavisée. Newton n'est pas confus, c'est le lire avec un dictionnaire moderne en main qui crée la confusion. Ma préoccupation est que l'histoire de "l'argument epsilon" ignore que Newton fonctionne avec un système de notions différent du nôtre, une confusion qui lui est propre.
@MichaelBächtold Parce qu'il nous le dit quand il décrit ses "quantités", et le cadre d'analyse algébrique épelé est un développement ultérieur. Bien que l'on puisse déjà en voir les germes, par ex. dans la discussion de Newton sur la geneta dans le lemme 2 du livre 2.
@MichaelBächtold Arthur (j'ai ajouté une référence) interprète le lemme comme "* une version synthétique de l'axiome d'Archimède *" (pp.2,12): moins que "toute différence donnée" est seulement zéro, il n'y a pas d'infinitésimaux non-zéro. Bien sûr, Newton la dérive de la «définition» cinématique de ses quantités plutôt que de la prendre comme un axiome, comme les Grecs l'ont fait pour leurs grandeurs.
@Conifold Équilibrer «Moins de« toute différence donnée »» à zéro est clairement faux, que vouliez-vous vraiment dire?
@terry-s Voir la discussion d'Arthur p.12: "* étant donné deux quantités dont la différence $ D $ est inférieure à une certaine quantité $ a $, on peut toujours trouver un nombre $ n $ tel que $ nD> a $, de sorte que $ c = a / n
@Conifold: Le passage que vous citez semble montrer une incompréhension complète du lemme 1, du moins en ce qui concerne les mots `` avant la fin de ce temps '' et `` quantité donnée '', il essaie d'extraire un sens différent de ce que contient le lemme 1 en ajoutant aux mots de Newton des choses qu'il n'a pas écrites.
@terry-s Vous pouvez lire l'explication d'Arthur dans son intégralité, l'article est librement accessible. Il examine le contexte et la genèse du lemme 1 du Traité sur les fluxions. Cela me paraît raisonnable.
Parmi les méthodes de calcul de Newton, DTW 1961 considère les fluxions, mais je ne trouve aucune mention des rapports premier / premier et dernier / ultime comme dans Principia Bk.1 sec.1. Sur l'autre point, "inférieur à 'une différence donnée'" n'est en général ni nul ni infinitésimal car pour une 'différence donnée', toutes ses fractions, par ex. 1/2 sont clairement à la fois inférieurs à lui et également finis non nuls, Newton exclut également les cas zéro le cas échéant en limitant le point considéré à `` avant la fin de ce temps '', c'est-à-dire avant que la différence considérée n'atteigne zéro. J'essaierai d'aborder ceci dans une édition / amendement.
Je trouve l'article d'Arthur assez difficile à suivre. Par exemple: juste après avoir cité le lemme 1, il continue à soulever une objection (injustifiée) avec des infinitésimales à "... qui avant la fin de ce temps se rapproche si près les uns des autres que leur différence est inférieure à une quantité donnée". Je pourrais comprendre l'objection d'Arthur s'il interprétait cette phrase comme: "Il existe un moment $ t = t_0 $ avant $ t = t _ {\ text {end}} $ tel que pour tout $ \ epsilon> 0 $ donné la différence du quantités à tout moment après que $ t = t_0 $ est inférieur à $ \ epsilon $. " Mais pourquoi ne pas l'interpréter comme (suite)
"Pour tout $ \ epsilon> 0 $ donné, il existe un temps $ t = t_0 $ avant $ t = t _ {\ text {end}} $ tel que la différence à tout moment après $ t = t_0 $ soit inférieure à $ \ epsilon $ "? Avec une telle interprétation, je ne peux pas comprendre son objection. Et je ne vois pas pourquoi ce n'est pas une interprétation valable de Newton. Comme Arthur n'est jamais explicite sur la façon dont il interprète Newton, je dois deviner ce que dit Arthur, en plus de devoir deviner ce que Newton dit.
@MichaelBächtold Je pense qu'il a en tête quelque chose de plus proche de votre deuxième lecture (bien que j'aie des réserves sur l'analyse de Newton en langage weierstrassien. En partie, c'est l'absence de logique basée sur des quantificateurs que la conception cinématique compense, comme Friedman l'a souligné, par exemple). Le souci serait toujours qu'à $ t = t _ {\ text {end}} $ les quantités pourraient différer d'un infinitésimal plutôt que "devenir finalement égales", contrairement à l'axiome archimédien.
#3
+3
hermes
2019-05-09 23:35:41 UTC
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Newton n'avait pas le concept rigoureux de limite comme dans $ \ epsilon / N $ et $ \ epsilon / \ formules delta $ . Au lieu de cela, il avait une vague idée de la limite en terme de mouvement et utilisa la notion d'infinitésimal pour calculer les dérivées et les intégrales. Par exemple, calculer le dérivé de $ y = x ^ 2 $ est comme $$ \ dot {y} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {(x + \ Delta x) ^ 2-x ^ 2} {\ Delta x} = 2x + \ Delta x = 2x $$ (Newton utilisé $ \ dot {x} $ pour le dérivé et plus tard Leibniz amélioré en $ \ frac {dy} {dx} $ ). Dans la dernière étape, $ \ Delta x = 0 $ , mais dans $ \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} $ , $ \ Delta x $ ne peut pas être $ 0 $ pour $ \ frac0 {0} $ n'a aucun sens. Cela signifie que $ \ Delta x $ (infinitésimal) est parfois égal à zéro et parfois non, un fait que Newton ne pouvait pas expliquer. Leibniz ne connaissait pas non plus la solution. Cependant, ce défaut de l'infinitésimal a été largement ignoré car la puissante méthode de calcul a résolu tant de problèmes importants que l'humanité n'a même jamais rêvé auparavant.

L'explication rigoureuse de l'infinitésimal à travers la notion de limite (sous forme de $ \ epsilon / N $ et $ \ epsilon / \ delta $ ), cependant, ne fut achevée que deux cents ans après Newton, grâce aux travaux de Cauchy et Weierstrass au 19ème siècle. Il est donc exagéré de dire que Newton connaissait la notion exacte de limite et le traitement rigoureux de l'infinitésimal. Cependant, Newton doit être crédité pour son invention du calcul par l'infinitésimal. De même, il est encore une fois exagéré de dire que des personnes comme Cavalieri ou même Archimède avaient inventé le calcul avant Newton.

Il serait utile de proposer des références à l'appui de vos affirmations. La question, juste pour rappeler, concerne les limites et la conception que Newton en a. Son traitement des limites dans les Principes est proposé en réponse, avec référence (s) en ligne et texte (s) fourni (s). Le sujet est son travail justificatif. Personne ici n'a nié que dans d'autres écrits, il ait utilisé l'équivalent des infinitésimaux, personne n'a suggéré qu'il y ait un compte rendu rigoureux des infinitésimaux en dehors des arguments-limites. Personne n'a suggéré que Cavalieri ou Archimède aient inventé le calcul. Etc. Il serait utile de lire avant de discuter!
Je pense que les livres d'histoire des mathématiques de Morris Kline ou d'Alexandrov contiennent les références de ce point de vue.
"* Newton ne pouvait pas expliquer pourquoi *" --- En formulant votre commentaire de cette façon, vous semblez suggérer que Newton a essayé et échoué à expliquer quelque chose dans ce sens, et je doute que cela reflète exactement ce qui s'est réellement passé. Je suppose que vous parlez de l'essai de George Berkeley [* The Analyst; ou un discours adressé à un mathématicien infidèle *] (https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/AnalCont.html) et la controverse qui en a résulté. L'essai parut en 1734 et Newton mourut en 1727.
Je me rends compte que cette vision pourrait dépendre des pays. Les mathématiciens britanniques et ceux des pays anglophones peuvent croire que Newton connaissait déjà la notion de limite, y compris George Berkeley. Mais (la plupart) des mathématiciens d'Europe continentale et d'autres pensent différemment. Rappelez-vous qu'il y avait eu un énorme débat sur qui a inventé le calcul (Newton ou Leibniz) entre les mathématiciens britanniques et européens continentaux. Depuis que j'ai appris le calcul dans un environnement non anglais, je savais seulement que Newton ne pouvait pas expliquer les faits sur l'infinitésimal, ce qui est vrai.
Ne devrait-il pas lire $ \ dot {x ^ 2} $ si quoi que ce soit? Et je doute que Newton aurait écrit le calcul que vous avez fait, car, pour autant que je sache, il n'a pas utilisé de différences / différentiels. Ou pourriez-vous indiquer un endroit où il a écrit $ \ Delta x $?
Je ne veux pas dire que Newton avait utilisé $ \ frac {\ Delta y} {Δx} $. Il est nécessaire de montrer le problème en infinitésimal


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