Question:
Quels résultats théoriques de groupe étaient connus pour plusieurs cas particuliers avant que la définition générale d'un groupe ne soit établie?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
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De nombreux résultats en théorie des groupes ont été prouvés pour les groupes de permutation avant que la définition générale d'un groupe ne soit établie (par exemple: théorème de Lagrange, théorèmes de Sylow). Cependant, les groupes de permutation n'étaient pas les seuls groupes étudiés au XIXe siècle, il y avait aussi des groupes de transformations géométriques et des groupes issus de la théorie des nombres (je ne peux pas vraiment donner plus de détails car je ne connais pas franchement les détails).

Des résultats de théorie générale des groupes étaient-ils connus pour plusieurs cas spécifiques autres que de simples groupes de permutation, avant que la définition générale d'un groupe n'ait été formulée? Je demande parce que je me demande si de telles «coïncidences» auraient pu motiver la définition générale d'un groupe. A titre d'exemple, le théorème de Lagrange était connu au 19ème siècle à la fois pour les groupes de permutation et pour le groupe multiplicatif de $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (via Euler).

Cela vaut probablement la peine de souligner (bien que vous le sachiez sûrement) que tout résultat purement théorique de groupe qui peut être prouvé pour les groupes de permutation est valable pour les groupes abstraits par le théorème de Cayley.
L'insolvabilité des polynômes du cinquième ordre par les radicaux a été prouvée avant Galois à ma connaissance. Il a jeté les bases du cas général. Vous pourriez discuter de la théorie des groupes.
Deux réponses:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
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L'article The Abstract Group Concept, de l'archive McTutor, donne un compte rendu des étapes vers la définition abstraite moderne. En bref, Cayley fit les premières tentatives trébuchantes (citant explicitement la loi associative) dans un article de 1854, mais ce n'est qu'en 1895 que Weber en donna la définition moderne, dans son Lehrbuch der Algebra . Weber incluait des groupes infinis.

Quant à la question initiale: à part le théorème de Lagrange que vous mentionnez, je ne connais aucun cas où la définition abstraite unifiait les résultats séparés précédents. La définition abstraite ne semble pas avoir été motivée par ce désir. Cependant, il est vrai que les groupes de Lie ont été directement inspirés des groupes de permutation de Galois et du désir de Lie de développer une théorie des équations différentielles analogue à la théorie de Galois.

Il semble également plausible que Weber, en écrivant un texte complet sur l'Algèbre, ait vu la possibilité d'unir des notions disparates. Mais ce n'est qu'une conjecture de ma part.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
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"Presque tout" a été trouvé avant que la définition moderne générale d'un groupe ne soit éteinte :-) Je ne sais pas qui a donné la première définition du groupe abstrait (comme un ensemble avec une opération satisfaisant tel ou tel axiome). Mais probablement cela s'est produit au 20ème siècle (on attribue cela à plusieurs personnes) .Pour les mathématiciens du 19ème siècle, un groupe était un groupe de transformations d'un ensemble en lui-même. Et les premiers résultats profonds appartiennent à Lagrange et Galois.

Cayley est généralement crédité de la définition abstraite d'un groupe. Je suppose que dans le même article de 1854 où il a prouvé le théorème de Cayley.
@Michael Weiss: Pouvez-vous donner une référence sur l'article de Cayley? A-t-il considéré uniquement des groupes finis ou arbitraires? Si tel est le cas, tous les résultats avant 1854 ont été prouvés avant la définition générale d'un groupe. Plus particulièrement, la théorie de Galois.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Je n'ai pas lu l'article moi-même, d'où ma formulation du commentaire.
@Michal Weiss: bien, j'ai lu la première page et cela confirme ce que j'ai dit: pour Cayley les ELEMETNS du groupe sont des "opérations", ou des "transformations", plutôt les éléments d'un ensemble abstrait :-) Je pense que personne n'a utilisé " définit "systématiquement devant Cantor.
Vous avez raison, mais si vous lisez le reste de l'article, vous le trouverez à tâtons vers le concept moderne. En attendant, j'ai trouvé l'article d'archives McTutor qui décrit le développement du concept abstrait.


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