Question:
Existe-t-il des sources écrites (XIXe siècle) exprimant la croyance que la propriété de valeur intermédiaire équivaut à la continuité?
Andrés E. Caicedo
2014-10-29 12:13:53 UTC
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Comme demandé dans le titre:

Existe-t-il des sources écrites (du 19ème siècle) affirmant explicitement que toute fonction satisfaisant la propriété de valeur intermédiaire est continue?

(Je ne pense pas qu'il soit logique de rechercher des sources antérieures, car la notion de continuité elle-même n'a été rendue rigoureuse qu'au XIXe siècle. Cette question est née d'une réponse que j'ai donnée à Math.Stackexchange. Ce qui suit emprunte beaucoup à cette réponse.)

Si I est un intervalle, et f: I → ℝ, on dit que f a le propriété de valeur intermédiaire si et seulement si chaque fois que a ≠ b sont des points de I, si c est entre f (a) et f (b), alors il y a ad entre a et b avec f (d) = c.

Bolzano a publié en 1817 son article Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Preuve purement analytique du théorème qu'entre deux valeurs quelconques qui donnent des résultats de signe opposé se trouve au moins une racine réelle de l'équation). Là, il prouve que les fonctions continues satisfont la propriété de valeur intermédiaire. Comme il l'indique dans l'article, la proposition était largement considérée comme vraie, et plusieurs arguments «géométriques» avaient été donnés pour essayer de la justifier.

D'un autre côté, nous savons maintenant que la propriété de valeur intermédiaire est bien plus faible que la continuité. Une belle enquête contenant des exemples détaillés de fonctions qui sont discontinues et qui ont pourtant la propriété de valeur intermédiaire est

I. Halperin, Fonctions discontinues avec la propriété Darboux , Can. Math. Bull., 2 (2) , (mai 1959), 111-118.

Dans l'article de Halperin, nous trouvons la citation amusante

Jusqu'aux travaux de Darboux en 1875, certains mathématiciens croyaient que la propriété [de la valeur intermédiaire] impliquait en fait la continuité de f (x).

Cette affirmation est répétée dans (beaucoup) d'autres endroits. Par exemple, ici on lit

Au 19ème siècle, certains mathématiciens croyaient que la propriété [la valeur intermédiaire] était équivalente à la continuité.

Ceci est très similaire à ce que nous trouvons dans A. Bruckner, Différenciation des fonctions réelles , AMS, 1994. En page 5, nous lisons

Cette propriété était considérée, par certains mathématiciens du XIXe siècle, comme équivalente à la propriété de continuité.

Wikipédia:

Historiquement, cette propriété de valeur intermédiaire a été suggérée comme définition de la continuité des fonctions à valeur réelle [citation nécessaire].

J'ai été incapable de trouver une source directe exprimant cette croyance. Que ce soit bien le cas est peut-être corroboré par les deux citations suivantes de Gaston Darboux Mémoire sur les fonctions discontinues , Ann. Sci. Scuola Norm. Sup., 4 , (1875), 161–248. Tout d'abord, aux pp. 58-59, nous lisons:

Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on regardait à bon droit comme évidents ou que l'on accorderait dans les applications de la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une critique rigoureuse dans l'exposé des propositions relatives aux fonctions les plus générales. Par exemple, on verra qu'il existe des fonctions continues qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il y a des fonctions discontinues qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

L'article de Darboux prouve que les dérivées ont la propriété de valeur intermédiaire, et qu'il existe des dérivées discontinues, vérifiant ainsi d'abord que les deux notions ne sont pas équivalentes. (Pour cette raison, la propriété de valeur intermédiaire est parfois appelée la propriété Darboux ou, même, on dit qu'une fonction avec cette propriété est Darboux continue .)

La preuve que les dérivés ont la propriété de valeur intermédiaire commence à la page 109, où nous lisons:

En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions discontinues qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comme le caractère distinctif des fonctions continue, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Wikipedia mentionne ce qui suit:

Avant que la définition formelle de la continuité ne soit donnée, la propriété de valeur intermédiaire a été donnée dans le cadre de la définition d'un fonction continue. Les partisans incluent Louis Arbogast, qui a supposé que les fonctions n'avaient pas de sauts, satisfaisaient la propriété de valeur intermédiaire et avaient des incréments dont les tailles correspondaient aux tailles des incréments de la variable.

L'article cite ce site, même si je n'ai pas pu vérifier cela à partir des écrits d'Arbogast (ou du site lié). En effet, Arbogast semble avoir une notion de fonction nettement plus restrictive que notre notion moderne de continuité, et donc le théorème de valeur intermédiaire s'y maintient. Je ne vois pas qu'il aborde directement la propriété de valeur intermédiaire, ou indique qu'elle implique une continuité. (Compte tenu de sa compréhension de ce qu'est une fonction, je ne suis même pas certain que cela aurait été significatif.)

Enfin, permettez-moi de demander:

S'il n'est pas vrai que la croyance en l'équivalence de ces deux notions ait été explicitement énoncée dans la littérature, d'où vient la fausse allégation? (Est-ce dans l'article de Halperin?)

J'ai récemment été mis au courant de [MR0165049 (29 # 2340)] (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=165049). Valabrega, Elda Gibellato. * Il teorema di esistenza degli zeri delle funzioni continue nell'analisi moderna *. Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Tapis. Natur. ** 98 ** 1963/1964 437–444. Le papier semble se préoccuper, au moins en partie, précisément de cette question. Je développerai cela en une réponse une fois que j'aurai lu attentivement le document et confirmé sa pertinence.
Trois réponses:
#1
+10
VicAche
2014-11-03 03:13:10 UTC
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Une réponse à votre question pourrait être que la séparation est arrivée assez tard. Wikipédia affirme que "les auteurs précédents ont jugé le résultat intuitivement évident et ne nécessitant aucune preuve.", Donc jusqu'à ce que la continuité soit officialisée par Bolzano et Cauchy, je pense qu'il est insensé de trouver des preuves. Nous devons donc rechercher des personnes qui lisent Bolzano ou Cauchy, et qui pensent que la propriété de valeur intermédiaire équivaut à la continuité.

Comme vous l'avez déjà dit dans votre question, Darboux a montré en 1875 que vous pouviez vérifier le théorème sans continu. Cela laisse une petite fenêtre - 1817-1875 - pour trouver des absurdités publiées.

Et voici Darboux lui-même.

La propriété précédente a souvent étée prise pour la définition des fonctions continue

ce qui se traduit:

La proposition susmentionnée a souvent été confondue avec la définition de fonction continue

Donc, cela répond à votre deuxième question: si aucune preuve préalable ne peut être trouvée, Darboux lui-même a affirmé que l'erreur était généralisée avant son propre travail.

Dans l'introduction du même mémoire, Darboux déclare que M. Le travail de Hankel de 1870 concernant la mémoire de Riemann n'était pas sans reproche, mais il n'est pas clair s'il parle de l'existence d'un dérivé à toutes les fonctions ou du théorème des valeurs intermédiaires à ce stade. Je crois que quelqu'un disposé à trouver des preuves d'une confusion pourrait examiner le travail de M. Hankel, mais je n'ai pas trouvé l'article décrit par Darboux.

Oui merci. Je reconnais que seuls les articles postérieurs à ceux de Bolzano et antérieurs à ceux de Darboux semblent pertinents. J'ai également indiqué dans la question que Darboux suggère que l'erreur était «commune» (les deux citations que j'ai choisies voulaient illustrer cela). Je n'ai pas non plus vu l'article de Hankel; Je vais voir si je peux en obtenir une copie dans les prochains jours.
#2
+4
Ben Crowell
2015-10-20 20:44:44 UTC
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Ce n'est pas vraiment une réponse, mais c'est trop long pour tenir dans un commentaire. La question suppose que selon les définitions du XIXe siècle, il est faux que la propriété de valeur intermédiaire implique la continuité. Il est loin d’être clair pour moi que c’était le cas.

Il existe de nombreuses façons de formuler la définition de la fonction. Trois exemples consisteraient à définir la notion comme une formule, à utiliser des notions d'ensemble de points ou à procéder comme dans l'analyse infinitésimale lisse moderne (SIA). Pour autant que je sache d'après l'article de WP " Histoire du concept de fonction", la version à points n'a été pleinement développée et universellement acceptée que bien dans le 20e siècle.

Si nous avons un contre-exemple à la revendication, alors pour chaque $ y $ réel, nous avons un ensemble $ S_x $ de valeurs $ x $ équinumères aux rationnels, avec tous les $ S_x $ disjoints et se trouvant dans un intervalle fini . Cela équivaut à une preuve que $ \ mathbb {R} $ est égal à $ \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Q} $. Cela nécessite au moins ce qui suit:

(1) Nous acceptons l'existence de fonctions qui sont discontinues partout.

(2) Nous acceptons l'analyse cantorienne des infinis.

Ce sont à la fois des choix philosophiques importants et non des vérités inévitables. # 1 est faux dans SIA, par exemple. Le n ° 2 était très controversé à la fin du 19ème siècle.

Je pense donc qu'une meilleure façon de poser la question pourrait être plus comme ceci: à quel moment au 19ème ou Le 20e siècle s'est-il développé un consensus suffisant sur les définitions et la philosophie pour rendre faux, selon les choix standards, que la propriété de valeur intermédiaire implique la continuité?

#3
  0
Michael
2019-06-14 01:34:34 UTC
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Franchement, je ne comprends pas comment quiconque au 19e siècle aurait pu penser que la propriété de valeur intermédiaire implique la continuité. Prenez $ y (x) = 0 $ si $ x = 0 $ et $ y = sin (1 / x) $ sinon et vous avez votre contre-exemple.

Je soupçonne que les fonctions définies par l'analyse de cas sur les réels ont été prises en considération assez tardivement. Quelqu'un connaît les détails?


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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