Question:
Qu'est-ce qui a motivé Cantor à inventer la théorie des ensembles?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
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Je ne peux pas imaginer des mathématiques sans ensembles, mais la question "à quoi ressemblaient les mathématiques avant qu'il y ait des ensembles" ne peut répondre, je pense. Au lieu de cela, une bonne réponse à la question du titre devrait couvrir un certain aspect de la question plus générale.

Je pense qu'une idée pour fonder les mathématiques était également en jeu. Si Cantor est nouveau à ce sujet, je ne suis pas sûr.
Je ne sais pas si ce lien est déjà fourni dans ce fil mais je pense que je devrais le partager ici. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Merci @ankit, c'est un article très sympa et absolument pertinent.
Bien sûr, vous ne pouvez pas imaginer les mathématiques sans ensembles - les mathématiques avant la théorie formelle des ensembles ne sont pas les mêmes que «les mathématiques avant qu'il y ait des ensembles». Comme les * algorithmes * existaient depuis toujours bien que leur formalisation ne date pas de 150 ans, les gens utilisaient toujours des intersections de collections (* ensembles *) et ainsi de suite.
Trois réponses:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
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Une motivation immédiate de Cantor à travailler sur ce qui est devenu la théorie des ensembles était son travail antérieur sur les séries trigonométriques. Pour résoudre un problème dans ce domaine, il a considéré l'ensemble (un ensemble fermé) de zéros d'une telle fonction, puis l'ensemble dérivé de cet ensemble, l'ensemble dérivé de cet ensemble et ainsi de suite. Tout cela est encore classique, mais il a ensuite fallu aller plus loin pour considérer d'abord l'intersection de tous ces ensembles, puis l'ensemble dérivé de cet ensemble, etc.

Il en est donc venu à considérer les ordinaux transfinis.

Ceci est discuté à divers endroits, y compris "Théorie des ensembles et unicité des séries trogonométriques" de Kechris ou " Unicité des séries trigonométriques et théorie des ensembles descriptive, 1870–1985 "par Roger Cooke (Archive for History of Exact Sciences, 1993)

L'article original est (je pense) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math . Annalen, 1872) "

Une autre motivation était son travail antérieur sur la théorie des nombres. En utilisant ce qu'on appelle maintenant un argument de diagonalisation, il a pu prouver des résultats sur l'existence de nombres transcendantaux. C'est dans son article de 1874 "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sur une propriété de la collection de tous les nombres algébriques réels")

En bref, la motivation initiale était d'avoir de meilleurs outils pour progresser sur les problèmes existants.

Avez-vous des références pour le premier point?
J'ai ajouté quelques références.
Outre les références que vous suggérez, le lieu habituel pour lire à ce sujet est la préface de Jourdain à sa traduction des Maths de Cantor. Mémoires Annalen, [* Contributions à la fondation de la théorie des nombres transfinis *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
La discussion la plus détaillée que je connaisse en anglais pour les articles de la série trigonométrique de Cantor est celle de Dauben: * The trigonometric background to Georg Cantor of sets *. En ce qui concerne Cantor étendant l'argument de dénombrabilité des rationnels aux nombres algébriques, cela provient de Dedekind dans les lettres à Cantor. Les traductions anglaises des lettres pertinentes se trouvent aux pages 844-850 du livre d'Ewald (référence ** [7] ** [ici] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on -infinity-influence-cantor)). Voir aussi les pages 177-186 du livre de Ferreirós de 1999 et son Historia Math de 1993. papier.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
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En fait, Cantor travaillait sur un problème spécifique de la théorie des séries trigonométriques, le soi-disant problème d'unicité (je ne peux pas être plus précis avant que MathJax ne soit présenté sur ce site). Ce problème l'a amené à considérer des ensembles arbitraires sur la ligne réelle. Je veux dire des ensembles plus compliqués que des ensembles finis ou une union finie d'intervalles. À cette époque, il n'y avait pas d'outils ni de terminologie pour étudier les ensembles arbitraires, donc tout cela devait être créé.

Au cours de cette étude, il a créé non seulement la théorie des ensembles, mais aussi ce qu'on appelle maintenant la topologie générale . (Il est intéressant de noter que le problème original des séries trigonométriques n'a pas de solution complète à ce jour :-)

La méthode originale de preuve, la soi-disant "procédure diagonale" remonte au prédécesseur de Cantor, Paul du Bois Reymond, qui étudiait également les séries trigonométriques.

Désolé pour le petit choix mais c'est la deuxième fois que je le remarque: MathJax pas MathJack.
En outre, la procédure diagonale est survenue dans un cadre sans rapport avec l'étude des séries trigonométriques. [Ici] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) sont quelques détails. Et [ici] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) est une citation de Hardy qui explique peut-être pourquoi du Bois-Reymond n'est pas mieux connu.
Tu as tout à fait raison. La procédure diagonale a été utilisée pour les questions de type «ordres à l'infini». Mais du Bois-Reymond a également étudié les séries trigonométriques, juste une coïncidence intéressante :-)
Merci @quid:! Vous pouvez en fait modifier le texte lorsque vous repérez des erreurs d'impression.
Malheureusement, je n'ai pas encore assez de points ici à modifier, et pour les modifications suggérées, il y a une limite de caractères.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
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Selon Cantor lui-même, c'était son désir de remplacer l'explication mécanique de la nature par une théorie plus complète. Voir plusieurs aspects dans Qu'est-ce que les affirmations de Cantor sont devenues vraies??



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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