Question:
Quelle est la différence entre le calcul de Newton et celui de Leibniz?
Sameer Shemna
2014-10-29 10:25:56 UTC
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Y a-t-il des différences entre l'étude du calcul réalisée par Newton et celle réalisée par Leibniz? Si oui, merci de le mentionner point par point.

Lié sur Math.SE: http://math.stackexchange.com/questions/521929/what-did-newton-and-leibniz-actually-discover, http://math.stackexchange.com/questions/745922/how- did-newton-and-leibniz-fait-faire-calcul, http://math.stackexchange.com/questions/306278/how-did-the-ancients-view-infinitesimals
Cinq réponses:
#1
+24
kaine
2014-10-29 20:56:40 UTC
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La notation de Newton, la notation de Leibniz et la notation de Lagrange sont toutes utilisées aujourd'hui dans une certaine mesure, elles le sont respectivement:

$$ \ dot {f} = \ frac {df} {dt} = f '( t) $$$$ \ ddot {f} = \ frac {d ^ 2f} {dt ^ 2} = f '' (t) $$

Vous pouvez trouver plus d'exemples de notation sur Wikipedia.

La notation standard intégrale ($ \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty f dt $) a également été développée par Leibniz. Newton n'avait pas de notation standard pour l'intégration.

J'ai lu dans "The Information" de James Gleick ce qui suit: Selon Babbage qui a finalement obtenu le professeur Lucasian à Cambridge que Newton a tenu, la notation de Newton a paralysé les mathématiques développement. Il a travaillé comme étudiant de premier cycle pour instituer la notation de Leibniz telle qu'elle est utilisée aujourd'hui à Cambridge malgré le dégoût que l'université avait encore à cause du conflit Newton / Leibniz. Cette notation est beaucoup plus utile que celle de Newton dans la plupart des cas. Cela implique cependant qu'il peut être traité comme une simple fraction qui est incorrecte.

* Cela implique cependant qu'il peut être traité comme une simple fraction qui est incorrecte. * Ce n'est pas vrai. Pour une bonne discussion à ce sujet, voir Blaszczyk, Katz et Sherry, Ten Misconceptions from the History of Analysis and their Debunking, http://arxiv.org/abs/1202.4153. Voir également http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis. Comme expliqué dans l'article de Blaszczyk, Leibniz a tout à fait raison, y compris ce que la NSA appelle maintenant la distinction entre le quotient dy / dx et le dérivé, qui est la partie standard de ce quotient.
#2
+8
Mikhail Katz
2016-04-06 16:40:13 UTC
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Au-delà de la question de la notation, Newton a expérimenté un certain nombre d'approches fondamentales. L'une des premières impliquait des infinitésimaux, alors que plus tard, il s'en détourna à cause de la résistance philosophique de ses contemporains, souvent issue de considérations religieuses sensibles étroitement liées aux querelles interconfessionnelles. Leibniz était également au courant des querelles, mais il utilisait systématiquement des infinitésimales et des différentiels pour développer le calcul, et pour cette raison, il réussit mieux à attirer des adeptes et à stimuler la recherche - ou ce qu'il appelait Ars Inveniendi .

#3
+7
José Hdz. Stgo.
2016-04-07 03:55:57 UTC
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Vous devriez certainement jeter un œil au deuxième chapitre d'Arnold Huygens & Barrow, Newton & Hooke . Le regretté professeur Arnold y résumait la différence entre l'approche de Newton de l'analyse mathématique et celle de Leibniz comme suit:

L'analyse de Newton était l'application de séries de puissance à l'étude du mouvement ... Pour Leibniz, .. .analyse était une étude algébrique plus formelle des anneaux différentiels.

L'aperçu d'Arnold des contributions de Leibniz au thème est agrémenté d'un nombre non négligeable de remarques stimulantes:

Dans le travail d'autres géomètres - par exemple, Huygens et Barrow - de nombreux objets connectés à une courbe donnée sont également apparus [par exemple: abscisse, ordonnée, tangente, la pente de la tangente, l'aire d'un curviligne figure, la subtangente, la normale, la sous-normale, etc.] ... Leibniz, avec sa tendance individuelle à l'universalité [il a jugé nécessaire de découvrir la soi-disant caractéristique, quelque chose d'universel, qui unit tout dans la science et contient toutes les réponses à toutes les questions], a décidé que tous ces quan les choses doivent être considérées de la même manière. Pour cela, il a introduit un seul terme pour l'une quelconque des quantités liées à une courbe donnée et remplissant une fonction par rapport à la courbe donnée - le terme fonction...

Ainsi , selon Leibniz, de nombreuses fonctions étaient associées à une courbe. Newton avait un autre terme - fluent - qui désignait une quantité fluide, une quantité variable, et donc associée au mouvement. Sur la base des études de Pascal et de ses propres arguments, Leibniz a développé assez rapidement l'analyse formelle sous la forme que nous connaissons aujourd'hui. C'est-à-dire sous une forme spécialement adaptée pour enseigner l'analyse par des personnes qui ne la comprennent pas à des personnes qui ne la comprendront jamais ... Leibniz a assez rapidement établi les règles formelles pour opérer avec des infinitésimaux, dont le sens est obscur.

La méthode de Leibniz était la suivante. Il a supposé que l'ensemble des mathématiques, comme l'ensemble de la science, se trouve à l'intérieur de nous, et que la philosophie seule nous pouvons tout toucher si nous prenons attentivement garde aux processus qui se produisent dans notre esprit. Par cette méthode, il a découvert diverses lois et parfois avec beaucoup de succès. Par exemple, il a découvert que $ d (x + y) = dx + dy $ , et cette découverte remarquable l'a immédiatement obligé à réfléchir à ce qu'est le différentiel d'un produit . Conformément à l'universalité de ses pensées, il parvint rapidement à la conclusion que la différenciation [devait être] un homomorphisme en anneau, c'est-à-dire que la formule $ d (xy) = dx dy $ doit tenir. Mais après un certain temps, il a vérifié que cela conduisait à des conséquences désagréables, et a trouvé la bonne formule $ d (xy) = xdy + y dx $ , qui s'appelle maintenant Leibniz règle. Aucun des mathématiciens à la pensée inductive - ni Barrow ni Newton, qui par conséquent s'appelait un âne empirique dans la littérature marxiste - n'aurait pu [avoir jamais eu] l'hypothèse originale de Leibniz dans sa tête, car pour une telle personne, c'était assez évident. quel est le différentiel d'un produit, à partir d'un simple dessin ...

L'affirmation d'Arnold selon laquelle Leibniz "est arrivé à la conclusion" que $ d (xy) = dxdy $ est une erreur qui a été largement discutée ailleurs. Leibniz n'a pas fait une telle affirmation mais a au contraire demandé si cela était vrai. Et bien sûr, il est arrivé à la conclusion que ce n'était pas le cas, assez tôt. Le ton sarcastique d'Arnold vient probablement de sa méfiance (à la suite de Berkeley et Cantor?) Des infinitésimaux, ce qui est également évident dans certaines affirmations absurdes qu'il fait ici quant à la prétendue «obscurité» de leur signification.
#4
+3
Carlos Bribiescas
2014-10-29 18:26:55 UTC
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D'un point de vue pratique, la notation était très différente.

Un point particulièrement sensible pour moi est que la notation Leibniz vous permet incorrectement de travailler avec des dérivés comme si elles étaient une fraction mathématique. Malheureusement, cela "fonctionne" la plupart du temps, donc c'est encore utilisé, même dans les cours universitaires, aujourd'hui.

Je ne pense pas qu'il y ait quelque chose de mal avec les raccourcis, au point qu'ils ne le font pas t nuire à la compréhension. Dans ce cas, je pense que cela crée un malentendu sur le sujet. Cela seul, je pense, place la notation Newtons au-dessus de celle de Leibniz.

Merci @carlosbriebiescas pour la perspicacité, je vais le lire tout de suite, est-ce le seul point de différence cependant?
-1: J'ai bien peur que de telles affirmations soient basées sur un malentendu de la notation de Leibniz ainsi que sur l'utilisation historique du mot fonction. Pour plus de détails, voir par exemple ces discussions: [Si d / dx est un opérateur, sur quoi fonctionne-t-il?] (Https://mathoverflow.net/q/115416/745) et [Fonctions polymorphes en calcul vectoriel] (https: //matheducators.stackexchange.com/questions/13520/polymorphic-functions-in-vector-calculus/13525#13525)
#5
+3
Sholto Maud
2017-01-21 17:40:40 UTC
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D'après la traduction de Loemker,

"Le raisonnement de Leibniz, bien qu'il vise une application plus large de la loi des carrés inverses qu'à la gravité seule, est moins général que celui de Newton (Principia, Livre I, Propositions I, 2, 14), car il présuppose un mouvement harmonique. "

Leibniz, Gottfried Wilhelm Documents philosophiques et lettres: une sélection / Traduit et édité, avec une introduction de Leroy E. Loemker. 2e éd. Dordrecht: D. Reidel, 1970. p.362



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