J'ai lu la traduction de John Stillwell du célèbre Analysis Situs et je suis devenu confus sur la signification exacte de «simplement connecté» dans la langue de Poincaré. À la page 7 (dans l'introduction), Stillwell affirme que Poincaré le définit, au paragraphe 14, comme une variété avec un groupe fondamental trivial (comme c'est le sens moderne du terme). Cependant, dans le texte même, je ne trouve pas une telle définition clairement énoncée. Le terme «simplement connecté» est utilisé pour la première fois à la page 65, apparemment sans définition donnée. À la page 74, nous avons quelque chose de suggestif:

Nous avons donc trois variétés dont le groupe est d'ordre fini, mais non isomorphe, donc les variétés ne peuvent pas être homéomorphes. Néanmoins, ils ont les mêmes nombres de Betti $$ P_1 = P_2 = 1. $$ Il semble naturel de restreindre le sens du terme simplement connecté à des variétés dont le groupe $ G $ se réduit à une seule substitution. Alors une variété fermée de plus de deux dimensions peut avoir un groupe $ G $ d'ordre fini sans être simplement connectée.

Je ne peux l'interpréter que comme signifiant que, pour Poincaré, simplement connecté signifiait groupe fondamental trivial plus autre chose . Il me semble que quelque chose d'autre est que tous les nombres de Betti sont égaux à 1 (notez que les nombres de Betti de Poincaré diffèrent des nombres modernes, étant décalés de 1).

De plus, à la toute dernière page de le cinquième (et dernier) complément, Poincaré énonce sa fameuse conjecture:

Est-il possible pour le groupe fondamental de $ V $ de se réduire à l'identité sans que $ V $ soit simplement connecté?

(Poincaré continue pour terminer l'article en affirmant, assez ironiquement, "Cependant, cette question nous entraînerait trop loin.") Cela semblerait être une question idiote si simplement connecté était un synonyme de groupe fondamental trivial (sauf si j'ai mal compris ce qu'il entend par «réduire à l'identité» - j'interprète cela comme étant un groupe trivial).

Même si elle est comprise comme je l'ai suggéré ci-dessus, c'est encore une question un peu étrange, car elle est très différente de ce qu'on appelle la conjecture de Poincaré de nos jours - en fait, il est facile de montrer que une 3-variété fermée simplement connectée (dans la compréhension moderne du terme) est une sphère d'homologie (en particulier, a les mêmes nombres de Betti que la sphère), et est donc simplement connectée même dans la définition la plus restrictive. En effet, la preuve en est juste la dualité de Poincaré, dont Poincaré était évidemment au courant, donc il n'aurait pas pu la manquer. Néanmoins, dans une note de bas de page, Stillwell affirme que c'est une déclaration correcte de la conjecture de Poincaré.

Comment faire la lumière sur cette confusion? Qu'entendait Poincaré par «simplement connecté» et comment a-t-il interprété sa propre conjecture?