Question:
Dans quelle mesure le paradoxe de Russell a-t-il vraiment brisé les mathématiques?
Nathaniel
2015-09-17 13:27:53 UTC
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Selon ma compréhension très probablement simplifiée à l'extrême, une révolution s'est produite dans les fondements des mathématiques lorsque la formulation de Cantor de la théorie des ensembles s'est avérée incohérente en raison du paradoxe de Russell, qui a finalement conduit au développement de La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, remettant ainsi les mathématiques sur des bases formelles solides.

Ma question est, quelle révolution ce processus a-t-il causé dans le reste des mathématiques, en dehors des fondations formelles?

Je peux imaginer deux extrêmes, la vérité se trouvant probablement quelque part entre les deux. D'une part, on pourrait imaginer qu'une fissure dans les fondations briserait l'ensemble des mathématiques, la plupart des théorèmes, même dans des sujets assez appliqués, devant être redirigés selon des lignes assez différentes dans le nouveau système, dans un processus qui en prendrait beaucoup. années. D'un autre côté, je peux imaginer que cela ne fait pas vraiment de différence, la plupart des résultats de niveau supérieur étant en quelque sorte indépendants des éléments de bas niveau en dessous d'eux, de sorte que les anciennes fondations puissent être remplacées et de nouvelles mises en place. sans déranger les structures qui ont été construites dessus.

Si je devais deviner, je dirais que c'était plus proche de ces dernières, car lorsqu'on raisonne sur des mathématiques supérieures ou appliquées, on doit rarement descendre aux axiomes de la théorie des ensembles. Mais j'apprécierais de savoir comment cela s'est passé historiquement.

Notez que le paradoxe de Russell ne rompt pas vraiment autant la théorie des ensembles même naïve; cela n'apparaît que lorsque vous essayez de créer de très grands ensembles. Vous pouvez faire la plupart des combinatoires sans vous éloigner des ensembles finis, et vous pouvez faire la plupart des analyses sans vous éloigner des sous-ensembles de l'espace euclidien (ou peut-être des ensembles de fonctions continues sur l'espace euclidien, qui ne sont pas non plus un problème). Ce genre de problèmes fondamentaux n'apparaissait vraiment sur les écrans radar des mathématiciens que lorsque les algébres et les topologues ont commencé à adopter le langage des catégories et des constructions universelles.
Quand j'ai entendu ce paradoxe pour la première fois, j'étais curieux: à quelle sorte d'entité mathématique Russell pensait-il pour obtenir cela? Selon Peter J Cameron, [il était motivé par quelques lectures sur le théologien Thierry de Chartres.] (Http://i.imgur.com/UrMuRAu.png) Jésus est toujours un merde, vous voyez?
@BillyRubina Cette note de bas de page dit qu'il "aurait pu être prévenu" par Thierry de Chartres. Cela n'implique pas que Russell avait une quelconque connaissance de son travail.
Quatre réponses:
Alexandre Eremenko
2015-09-17 17:24:45 UTC
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Votre estimation est juste. Le paradoxe de Russell n'a brisé que ce que les gens considéraient à l'époque comme les fondements de la théorie des ensembles. Plus précisément, le système de base logique construit par Frege. Bien sûr, c'était très dérangeant, car beaucoup de gens comprenaient que la logique et la théorie des ensembles sont vraiment le fondement de toutes les mathématiques. Cependant, il n'a "invalidé" aucun théorème en dehors de la théorie des ensembles et certains domaines étroitement liés, comme la nouvelle théorie des fonctions de la variable réelle. Je suis sûr que la plupart des mathématiciens, faisant par exemple des équations différentielles ou des fonctions de variable complexe ou de théorie ou de géométrie des groupes, ne se souciaient pas beaucoup du paradoxe de Russell. Bientôt, de nombreuses théories des fondations ont été développées pour éviter le paradoxe de Russell et des paradoxes similaires. L'une est due à Russell lui-même (on l'appelle la théorie des types), l'autre est l'intuitionnisme. Finalement, la plupart des mathématiciens se sont installés avec le système ZF. L'intuitionnisme (qui a ensuite évolué vers les mathématiques constructives) fondé par Brouwer a été la tentative la plus radicale de sauver les fondations. Il a en effet rejeté une grande partie des mathématiques classiques. Les discussions sur l'intuitionnisme se sont poursuivies jusque dans la seconde moitié du XXe siècle, mais la plupart des mathématiciens travaillant dans d'autres domaines que les fondations n'étaient pas vraiment intéressés par ces discussions.

Je ne suis pas sûr de convenir que l'intuitionnisme «a rejeté une grande partie des mathématiques classiques». Il pourrait rejeter de nombreuses façons possibles * d'exprimer * certaines parties des mathématiques classiques.
Par exemple, il n'est pas vrai en mathématiques constructives qu'une séquence croissante bornée de nombres réels ait une limite.
Prenez n'importe quel livre de calcul et voyez combien cela dépend de cette affirmation.
@AlexandreEremenko Mais si l'on prend la complétude comme un axiome définissant les réels - «Chaque sous-ensemble non vide borné ci-dessus a un supremum» - cela ne suit-il pas, eh bien, axiomatiquement?
* Par exemple, ce n'est pas vrai en mathématiques constructives, qu'une séquence croissante bornée de nombres réels a une limite. * Mais je soupçonne qu'un intuitionniste serait capable de faire une déclaration qui serait la même à toutes fins pratiques. Dans les applications pratiques, nous ne nous soucions pas de la distinction. Par exemple, personne n'a jamais mesuré un nombre irrationnel dans une expérience de physique.
@BenCrowell À proprement parler, personne n'a jamais mesuré un nombre quelconque dans une expérience de physique. Ils ne mesurent qu'un intervalle.
Les mathématiques sont BEAUCOUP plus grandes que ses applications pratiques :-)
@user58697: De nombreux hommes ont mesuré des nombres dans des expériences. Chaque berger qui comptait ses brebis. Tous les physiciens qui ont compté un ou deux atomes dans un piège de Paul.
@Otto: vous parlez d'entiers alors que user58697 signifie probablement des nombres réels. «L'existence» de nombres réels dans la réalité physique est loin d'être évidente.
Nikolaj-K
2015-10-05 13:06:36 UTC
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Vous dites

[...] en raison du paradoxe de Russell [ 1901 ], qui a finalement conduit au développement de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, donc remettre les mathématiques sur des bases formelles solides .

Ma question est, quelle révolution ce processus a-t-il causé dans le reste des mathématiques, en dehors des fondations formelles?

mais sachez que la Begriffsschrift de Frege n'est que de 1879! L'idée d'utiliser $ \ forall, \ exists $ est plus jeune que l'effet photoélectrique et il en va de même pour l'idée que vous devriez utiliser la logique formelle pour les mathématiques de cette manière .

Le problème de Russel est survenu quelques années après que les «gens de la logique» se soient penchés sur la théorie des ensembles pour la première fois. Quelles seraient les «bases solides sur lesquelles vous remettez les mathématiques» que les mathématiciens de différents domaines connaissent déjà (beaucoup moins de confiance et d'attention)?

J'ai du mal à analyser votre dernière phrase. Mais je prends votre point de vue général comme étant que les mathématiques n'étaient pas vraiment considérées comme étant basées sur des fondements formels bien avant 1901 de toute façon - ce point est bien compris, merci.
Mozibur Ullah
2020-03-06 23:01:10 UTC
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Selon ma compréhension très probablement extrêmement simplifiée, une révolution s'est produite dans les fondements des mathématiques lorsque la formulation de Cantor de la théorie des ensembles s'est avérée incohérente en raison du paradoxe de Russell, qui a finalement conduit au développement de l'ensemble de Zermelo-Fraenkel la théorie, remettant ainsi les mathématiques sur des bases formelles solides.

Ma question est, quelle révolution ce processus a-t-il causé dans le reste des mathématiques, en dehors des fondations formelles?

Il y a deux choses à distinguer ici:

a. définir toutes les mathématiques sur une base formelle

b. définir la théorie des ensembles sur une base formelle

On croyait que la théorie des ensembles résolvait le premier; ainsi formaliser la théorie des ensembles aiderait à formaliser les mathématiques; mon point de vue personnel à ce sujet est que cela nuit à la nature des mathématiques, qui est une entreprise humaine, et comprend à tort que les mathématiques sont simplement un système déductif, alors qu'elles ne le sont pas; quoi qu'il en soit.

La découverte du paradoxe de Russells a mis fin à une formalisation naïve de la théorie des ensembles; ZFC réussit en ignorant plus ou moins le paradoxe de Russells; L'autre option est de l'adopter et de voir que les ensembles viennent dans une hiérarchie de types; c'est la théorie des types, et fonctionne comme une base alternative pour les mathématiques. En fait, une théorie de type naïve fonctionne avec ZFC; où les ensembles ordinaires sont ce que nous utilisons là-bas, et les seuls ensembles plus grands sont des classes; ce n'est pas tout à fait abstrus, car dans la théorie des catégories, nous avons réellement besoin d'ensembles plus grands que ce que ZFC est capable de nous donner à utiliser.

Otto
2017-06-15 19:20:01 UTC
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Rien des mathématiques n'a été perturbé ou gâté par le paradoxe de Russell. Pas même un simple lemme. La raison en est que la théorie des ensembles n'est pas fondamentale pour les mathématiques (1,2) car elle contredit même les mathématiques (3).

(1) "La théorie des ensembles est largement sans rapport avec la pratique de la plupart des mathématiques. La plupart des professionnels les mathématiciens n’ont jamais l’occasion d’utiliser les axiomes de Zermelo-Fraenkel, alors que d’autres ne les connaissent même pas. [Saunders Mac Lane: " Mathematical models: A sketch for the philosophie of maths", American Mathematical Monthly, Vol . 88,7 (1981) p. 467f]

(2) "Je croyais qu'il était si clair que l'axiomatisation en termes d'ensembles n'était pas un fondement ultime satisfaisant des mathématiques que les mathématiciens feraient, pour la plupart partie, ne vous en préoccupez pas beaucoup. Mais ces derniers temps, j'ai vu à ma surprise que tant de mathématiciens pensent que ces axiomes de la théorie des ensembles fournissent le fondement idéal des mathématiques; il me semblait donc que le moment était venu de publier une critique. "[T. Skolem:" Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre ", Akademiska Bokhandeln, Helsinki (1923) 217-232, réimprimé comme" Quelques remarques sur un ensemble axiomatisé théorie "dans J. van Heijenoort:" De Frege à Gödel: Un livre source en logique mathématique, 1879-1931 ", Harvard University Press, Cambridge, Mass. (1967) 290-301]

(3 ) Voici l'essentiel d'un argument avancé par Mückenheim: Scrooge McDuck reçoit chaque jour 10 \ $ et émet 1 \ $. S'il émet toujours les dollars reçus en premier et s'il applique la théorie moderne des ensembles, alors il fera faillite car chacun des dollars reçus sera dépensé. La limite fixée est vide. Selon les mathématiques nous devons prendre la limite de la cardinalité des dollars Cette limite est infinie et est en contradiction flagrante avec la théorie des ensembles.

EDIT: Les votes négatifs ne changeront pas les faits:

L'infini réel n'est pas requis pour les mathématiques du monde physique. [S. Feferman: "L'infini en mathématiques: Cantor est-il nécessaire?" dans «À la lumière de la logique», Oxford Univ. Presse (1998) p. 30]

Dans ses derniers chapitres, Feferman utilise des outils de la partie spéciale de la logique appelée théorie de la preuve pour expliquer comment la grande partie sinon la totalité des mathématiques scientifiquement applicables peut être justifiée sur la base de principes purement arithmétiques. Au moins dans cette mesure, la question soulevée dans deux des essais du volume, «Cantor est-il nécessaire?», Reçoit une réponse par un «non» retentissant. [S. Feferman, "À la lumière de la logique", Oxford Univ. Description de presse (1998) du rabat de la veste]

Votre point (3) est assez étrange. Qu'est-ce qu'une "limite fixe"? Si vous voulez dire l'intersection de tous les décors, c'est effectivement vide, mais qu'est-ce que cela a à voir avec "il fera faillite"? L'intersection d'une infinité d'ensembles a une signification, mais personne ne dit que la signification est liée à la valeur nette de Scrooge McDuck. Éviter ce genre de négligence, l'ambiguïté du résultat d'un processus infini, est quelque chose que la théorie des ensembles évite avec succès.
@Roy Daulton: La limite fixée est expliquée dans l'essai Le petit démon: https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/The%20little%20demon.pdf. Les formules y sont données. C'est une version simplifiée de l'explication de Fraenkel de l'épuisement des ensembles infinis par l'histoire de Tristram Shandy. Si McDuck ne fait pas faillite, toutes les fractions ne sont pas non plus dénombrées par l'énumération de Cantor. Le fait est que l'ensemble des dollars non dépensés ainsi que l'ensemble des fractions non énumérées doivent être vides. Si tous les dollars sont dépensés, McDuck n'a pas de dollars. Cela signifie qu'il est en faillite.
Autant que je puisse voir, la plainte de votre article lié est que, pour les ensembles $ M_k $ et la définition de set-limit, il veut $ \ lim (\ mathrm {Card} (M_k)) = \ mathrm {Card} ( \ lim (M_k)) $. Mais pourquoi cela devrait-il être? De nombreuses propriétés ne sont pas conservées dans la limite - pourquoi la cardinalité devrait-elle être préservée? Insistez-vous pour que la limite des fonctions continues soit continue? La richesse de McDuck dans l'éternité est le côté gauche de cette «équation», la cardinalité de la limite fixée est à droite. Pourquoi devraient-ils être égaux?
@Rory Daulton: Peut-être que les théoriciens des ensembles croient que les ensembles infinis peuvent être épuisés et que la limite d'une fonction positive en augmentation continue peut être nulle. En tout cas * les mathématiques *, c'est-à-dire l'analyse, donne le contraire, à savoir le côté gauche. Et cela contredit clairement la «limite fixée» sur le côté droit, car McDuck ne peut pas laisser tous les dollars et être riche. Par conséquent, la théorie des ensembles ne peut pas être utilisée comme base pour dériver des mathématiques.
@Rory Daulton: Il ne suffit pas de * définir * (par une formule arbitraire) que McDuck fait faillite ou que la limite des fractions non énumérées est l'ensemble vide. Nous devons * prouver * que toutes les fractions sont en quelque sorte énumérées. * C'est impossible en utilisant l'analyse, car l'analyse prouve le contraire. *


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