Question:
Calcul arithmétique avant le 17e siècle
Rob Arthan
2020-04-13 01:05:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Apparemment, Dijkstra a écrit dans un article de Datamation 1 en 1977:

Il est très éclairant de penser au fait qu'il y a au plus quatre cents ans , les professeurs des universités européennes diraient aux brillants étudiants que s'ils étaient très assidus, il n'était pas impossible d'apprendre à faire de longues divisions. Vous voyez, les pauvres gars devaient le faire en chiffres romains.

Y a-t-il des preuves de l'affirmation de Dijkstra? J'avais toujours pensé que les gens faisaient avec bonheur toutes les opérations arithmétiques habituelles en utilisant des abaques (c'est-à-dire en utilisant la notation décimale) ou sur de l'argile / ardoise / parchemin / papier en utilisant la notation décimale ou sexagésimale depuis l'époque des Babyloniens.

1 MW Cashman, une entrevue avec le professeur Edsger W. Dijkstra. Datamation , 23 (5) (1977), pp. 164-166.

Dijstra a à peu près raison en ce qui concerne le délai, le passage aux algorithmes arithmétiques modernes à long terme ayant eu lieu au 16ème siècle. Il y a une [célèbre gravure sur bois de Gregor Reisch] (https://www.drthomasoshea.com/typus-arithmeticae.html) de 1504 qui montre une compétition entre des personnes utilisant un boulier contre des opérations à longue main. L'influent mathématicien allemand [Adam Ries] (https://en.wikipedia.org/wiki/Adam_Ries) a publié plusieurs manuels sur l'arithmétique, dont le plus ancien (1518) traite de l'abaque. Toutes les dernières concernent des méthodes à main longue, y compris pour la racine carrée
Merci pour le pointeur vers cette superbe gravure sur bois, mais aucune des parties ne calcule avec des chiffres romains dans cette illustration.
Les Romains ont effectué des calculs au moyen d'un [abaque] (https://en.wikipedia.org/wiki/Roman_abacus) ou d'un tableau de calcul, comme celui montré dans la gravure sur bois. Notre mot calcul [dérive] (https://www.etymonline.com/search?q=calculus) des petits cailloux utilisés dans ce mode de calcul.
@njuffa, "calculer" vient directement de là, "calcul" est dérivé du dernier.
@vonbrand [source] (https://www.etymonline.com/search?q=calculus): *** calcul (n.) ** méthode mathématique de traitement des problèmes par l'utilisation d'un système de notation algébrique, années 1660, de Calcul latin "calcul, compte", à l'origine "galet utilisé comme compteur de calcul," diminutif de calx (génitif calcis) "calcaire" *
Deux réponses:
njuffa
2020-04-13 06:55:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

TL; DR Dijkstra a tout à fait raison.

Les principaux moyens de calcul avec des chiffres romains étaient le abaque et le tableau de calcul. L'utilisation de petits cailloux dans ce mode de calcul est à l'origine de notre mot calcul.

Roger Cooke, "L'histoire des mathématiques. Un bref cours 2e. Éd.", Wiley 2005, p. 144, donne un aperçu bref mais utile de la manière et du moment où le passage à notre système décimal actuel en utilisant des chiffres arabes employant des méthodes de calcul à la plume et au papier:

Pour les calculs, ces chiffres encombrants ont été supplantés il y a des siècles par le système décimal de valeur de position hindou-arabe. Auparavant, le calcul était effectué en utilisant des fractions communes, bien que pour les calculs géométriques et astronomiques, le système sexagésimal hérité du Moyen-Orient était également utilisé. C'est au contact de la culture musulmane que les Européens se sont familiarisés avec le système de valeur de position décimale, et des mathématiciens tels que Gerbert d'Aurillac ont encouragé l'utilisation des nouveaux nombres en relation avec l'abaque. Au XIIIe siècle, Léonard de Pise a également contribué à l'introduction de ce système de calcul en Europe, et en 1478 une arithmétique a été publiée à Trévise, en Italie, expliquant l'utilisation des chiffres hindous-arabes [...] Au XVIe siècle, de nombreux érudits, dont Robert Recorde (1510-1558) en Grande-Bretagne et Adam Ries (1492-1559) en Allemagne, ont préconisé l'utilisation du système hindou-arabe et l'ont établi comme une norme universelle.

Leonardo de Pise (vers 1170 - 1240), appelé Fibonacci, a popularisé l'utilisation des chiffres arabes dans son livre Liber Abaci publié en 1202. Il contenait déjà des variantes de notre moderne méthodes à main longue pour effectuer l'arithmétique de base ainsi que l'extraction de racines carrées. Cependant, un basculement généralisé vers ces nouvelles méthodes de calcul n’a eu lieu que vers la première moitié du 16 e siècle.

Il existe une célèbre gravure sur bois allégorique tirée d'une œuvre de Gregor Reisch de 1503 qui montre une compétition entre Pythagore, calculant selon la méthode traditionnelle avec un abaque, et Boèce, calcul avec un stylo et du papier en utilisant des chiffres arabes. D'après leurs expressions faciales respectives, il est clair que ces derniers ont gagné. Nous notons également que la déesse Arithmetica en arrière-plan sourit favorablement à Boèce. C'est une expression claire que la supériorité des calculs papier et stylo avec des chiffres arabes avait été reconnue.

Le mathématicien Adam Ries a publié plusieurs manuels populaires en allemand. Il est intéressant de noter que son premier livre Rechnung auff der linihen (1518) explique l'utilisation de l'abaque, tandis que son deuxième livre Rechenung auff der linihen vnd federn (1522) explique l'utilisation à la fois de l'abaque et du calcul du stylo et du papier, indiquant un glissement vers ce dernier mode de calcul.

Google fournit une analyse complète du livre "Die Coss Christoffs Rudolffs, Mit schönen Exempeln der Cosz. Durch Michael Stifel Gebessert vnd ​​sehr gemehrt" de 1571. Il s'agit d'un livre sur algèbre écrite à l'origine par Christoph Rudolff (1499-1545) qui a été améliorée et développée par Stifel. Au-delà de l'arithmétique de base, il couvre l'extraction des racines carrées et des racines cubiques. Les méthodes démontrées sont fondamentalement identiques aux méthodes à longue main utilisées aujourd'hui.

Pour le public international: Le livre tiltes de * Ries * signifie "Calcul sur la ligne [s d'un abacud ou d'un * calculi * tableau]" et "Calcul sur la ligne ou [avec] la plume". Il est encore courant de déclarer le résultat d'un simple calcul simple (familièrement / la langue dans la joue) comme "das gibt nach Adam Riese" ("selon Adam Ries, cela se traduit par")
Merci, c'est très intéressant. Il semble que Dijkstra était à peu près juste sur les délais. Ce que je ne sais toujours pas, c'est si les gens ont déjà essayé de faire des calculs comme ce que nous appelons maintenant la division longue en utilisant directement des chiffres romains (ce que Dijkstra suggère qu'ils ont fait). Si oui, comment l'ont-ils fait?
@RobArthan Je pense qu'il est important de noter que la citation de Dijkstra dans la question provient d'une interview (j'ai ajouté la référence à la question; l'édition est actuellement en attente d'approbation). Il est plausible de supposer que Dijkstra parlait plus librement que s'il avait écrit un article formel et se référait aux chiffres romains * pars pro toto * pour les calculs avec l'abaque, car leur utilisation était en fait étroitement liée, comme je le souligne. Je ne sais pas comment la division a été effectuée avec l'abaque (romain), cela ressemble à une excellente question de suivi.
L'article Wikipédia auquel vous faites un lien écrit: "* Ce qui peut être déduit de ces abaques romains, est la preuve indéniable que les Romains utilisaient un appareil qui présentait un système décimal, de valeur de position et la connaissance inférée d'une valeur zéro représentée par un colonne sans perles dans une position comptée. * "C'est un étirement, mais il en va de même pour le" en chiffres romains "de Dijkstra. Les résultats étaient en chiffres romains, mais pas les calculs de l'abaque. La raison de l'accélération, je pense, n'était pas tant le passage des chiffres romains aux nombres décimaux que le développement de meilleurs algorithmes de division décimale.
Par exemple, * Liber Abaci * utilise déjà des décimales, mais son algorithme de division consistait à factoriser le diviseur et à diviser par les facteurs successivement, et la soustraction répétée était principalement utilisée sur abaque. Quelque chose ressemblant à distance à une "longue division" ne s'est répandu en Europe qu'à la fin du XVe siècle, peu de temps après l'imprimerie et avec les décimales, voir [Windsor-Booker] (https://www.semanticscholar.org/paper/An-Historical -Analyse-de-la-Division-Concept-et-Windsor-Booker / 1fbf13e7fe8d7549a870cf1fd430af5b4d8691d4). Il y a donc des parties importantes de l'histoire que Dijkstra s'est complètement trompées.
@Conifold Je suis d'accord avec la critique de l'article de Wikipédia, et je conviens que les chiffres romains n'étaient utilisés que pour enregistrer les opérandes en entrée / sortie du calcul de l'abaque. L'abaque fournit une représentation physique plutôt que symbolique, et je pense que cela devient un inconvénient croissant à mesure que la complexité opérationnelle augmente de la multiplication à la division jusqu'à la racine carrée. Nos procédures arithmétiques actuelles (stylo et papier) tirent clairement un grand avantage de la nature de * valeur de position * du système décimal.
@njuffa: Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi vous pensez que la différence entre une représentation physique plutôt que symbolique est importante. Il me semble que l'avantage de la méthode stylo-papier est qu'elle enregistre tous les états du calcul, alors que la méthode abaque n'enregistre que l'état actuel, ce qui rend les erreurs plus difficiles à détecter et à corriger.
Alexandre Eremenko
2020-04-13 02:50:01 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Il y avait au moins deux types de calculs très différents effectués en Europe médiévale: a) le calcul avec des nombres entiers, par exemple en comptabilité, et b) le calcul avec des nombres fractionnaires longs en astronomie. Le système positionnel, sexagésimal a été inventé à Babylone pour l'astronomie et à d'autres fins théoriques, et il n'a pas été utilisé en Europe, dans la vie quotidienne ordinaire, par exemple pour la comptabilité. Puisque Dijkstra parle de "professeurs d'université", il veut probablement dire astronomie. La comptabilité n'était pas enseignée dans les universités à cette époque.

Le système décimal a été introduit par Fibonacci 1170-1275 pour les entiers et pour la comptabilité, et seulement à la fin du 16ème siècle, Simon Stevin 1548-1620 a popularisé les fractions décimales.

La division en chiffres romains est en effet gênante. Mais même dans un système positionnel (disons, décimal ou sexagésimal), la division et la multiplication de nombres longs sont ennuyeuses. Avez-vous déjà essayé de multiplier deux nombres aléatoires à 6 chiffres en système décimal?

Vous n'avez pas besoin d'être très brillant pour cela, mais une fois que vous essayez, vous serez probablement d'accord pour dire que c'est un processus qui prend du temps et qui une grande attention. Ce problème a été résolu à la fin du XVIe siècle par Napier. Les solutions précédentes de ce problème Prosthaphérèse étaient bien plus compliquées.

Pour conclure, on peut dire que "brillant" est une exagération, il faudrait probablement dire "assidu".

Merci, mais cela ne donne vraiment aucune preuve pour ou contre l'affirmation de Dijkstra. Multiplier deux nombres décimaux à 6 chiffres aurait été considéré comme une tâche triviale il y a 100 ans - et je pourrais le faire maintenant. L'invention de Napier des logarithmes et des outils comme la règle à calcul n'est pas pertinente - ma question porte sur les calculs arithmétiques précis.
Le système sexagésimal n'a pas été inventé à Babylone, les Babyloniens l'ont hérité des Sumériens, et ce n'était pas pour l'astronomie ou la théorie, la plupart des tablettes d'argile contiennent des calculs de taille de la terre et de poids / densité, voir par ex. [Arpentage des terres dans l'ancienne Mésopotamie] (https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1179/1752270613Y.0000000070). La spécialisation en astronomie n'est venue que beaucoup plus tard.


ⓘ
Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 4.0 sous laquelle il est distribué.
Loading...