Un article de Kneser ( 1904) suggère fortement que l'idée remonte (en effet) à Cauchy , en relation avec les problèmes de Sturm-Liouville (c'est-à-dire les opérateurs différentiels ordinaires , par opposition au laplacien dans le corps de votre question). Étant donné les fonctions $ g, k, l $ et en écrivant $ \ smash {L = \ frac d {dx} \ left ( k \ frac {d} {dx} \, \ cdot \ right) - l}, $ Kneser considère le problème [pour nous: "valeur propre"] $$ LV + rgV = 0 $$ avec conditions aux limites $$ \ left [k \ frac {dV} {dx} -hV \ right] (0) = 0, \ qquad \ left [k \ frac {dV} {dx} + HV \ right] (X) = 0. \ tag1 $$ Aborder la question de Sturm-Liouville ( 1837) si $ f (x) $ peut être développé en une série de solutions $ V_ \ nu $ appartenant à [" valeurs propres »] $ r_ \ nu $ : $$ f (x) = A_1V_1 + A_2V_2 + \ cdots, \ tag3 $$ Kneser écrit:
Les développements analytiques particuliers que j'utilise pour cela sont inspirés ou tirés des travaux pertinents de Dini ( 1880), Harnack ( 1887), Poincaré ( 1894, 1895) et Stekloff ( 1901); mais l'idée de base peut être expliquée comme suit.
Ces auteurs récents utilisent tous un dispositif introduit par Cauchy ( 1827) dans son étude des séries de Fourier: ils construisent une fonction d'une variable complexe $ r $ contenant $ x $ comme paramètre, ayant des pôles à $ r = r_ \ nu $ comme ses seules singularités , et produisant comme résidus les termes correspondants de la série $ (3) $ . Poincaré, apparemment, a d'abord souligné [je suppose ici: ( 1894, 1895)] que la fonction auxiliaire de Cauchy est la solution de l'équation [de la «résolvante» $ \ smash {(L + rg) ^ {- 1}} $ ] $$ LV + rgV + f (x) = 0 $$ conditions satisfaisantes $ (1) $ .
Bien que cette première littérature ne soit pas facile à lire, le traités de Picard ( 1893, pp. 167-183), Poincaré ( 1895, pp. 210-223) et Watson ( 1922, pp . 576-617) présentent des chapitres de ce que peuvent être les trois premiers cas historiquement:
-
$ (g, k, l ) = (1,1,0) $ sur $ [0, \ pi] $ avec des conditions aux limites de Dirichlet. Puis $ V_ \ nu = \ sin (\ nu x) $ , $ \ smash {r_ \ nu = \ nu ^ 2} $ , et (3) est une série sinusoïdale de Fourier. Ou les conditions de Neumann, $ V_ \ nu = \ cos (\ nu x) $ , et les séries cosinus; que Picard (p. 177) et Poincaré (p. 220) attribuent à Cauchy ( 1827, p. 364-365).
-
$ (g, k, l) = (1,1,0) $ sur $ [ 0,1] $ avec les conditions de refroidissement de la sphère de Fourier ( 1822, pp. 340-342): $ V (0) = 0 $ et $ V (1) = AV '(1) $ pour certains $ A>1 $ . Puis $ V_ \ nu = \ sin (k_ \ nu x) $ et $ \ smash {r_ \ nu = k_ \ nu ^ 2} $ où les $ k_ \ nu $ sont les solutions positives de $ \ tan (k ) = Ak $ . Donc (3) est une «série de Fourier non harmonique», que Picard (pp. 178-183) et Poincaré (pp. 168-179, 220-223) attribuent à Cauchy.
-
$ (g, k, l) = (x, x, a ^ 2 / x) $ sur $ [ 0,1] $ avec $ V (1) = 0 $ , et aucune condition au point de terminaison singulier 0 $ . Puis $ V_ \ nu = J_a (k_ \ nu x) $ et $ \ smash {r_ \ nu = k_ \ nu ^ 2} $ où les $ k_ \ nu $ sont les racines de la fonction de Bessel $ J_a $ . Donc (3) est une «série de Fourier-Bessel», que Watson (pp. 582-591) attribue à Schläfli ( 1876).
Note ajoutée: Une déclaration antérieure (et peut-être la plus claire) de Cauchy se produit dans son Application du calcul des résidus à l'intégration des équations différentielles linéaires et à coefficients constants (Exercices de mathématiques 1 ( 1826) 202-204 = Œuvres (2) 6 ( 1887) 252-255):
Considérons d'abord la tâche d'intégration de l'équation différentielle $$ \ frac {d ^ ny} {dx ^ n} + a_1 \ frac {d ^ {n-1} y} {dx ^ {n-1}} + a_2 \ frac {d ^ {n-2} y} {dx ^ {n-2}} + \ ldots + a_ { n-1} \ frac {dy} {dx} + a_ny = 0, \ tag1 $$
où $ a_1, a_2, \ dots a_ {n-1}, a_n $ désignent des coefficients constants; et laissez, pour faire court $$ F (r) = r ^ n + a_1r ^ {n-1} + a_2r ^ {n-2} + \ dots + a_ {n-1} r + a_n. \ tag2 $$ Il est clair que, pour satisfaire l'équation (1), il suffira de prendre $$ y = \ rise {-1ex} {\ énorme {\ mathcal E}} \, \ frac {\ varphi (r) \, e ^ {rx}} {((\, F (r) \,))}, \ tag3 $$ où $ \ varphi (r) $ désigne toute fonction de $ r $ qui ne devient pas infinie pour les valeurs de $ r $ qui vérifient la formule $$ F (r) = 0. \ tag4 $$
(Bien sûr, ce n'est pas encore encadré en termes de valeurs propres de l'opérateur différentiel. Il le devient si nous remplaçons $ a_n $ par $ a_n - \ lambda $ , mais Cauchy n'a appelé (4)« équation caractéristique »qu'en 1839, et les noms de ses racines semblent être venus encore plus tard - je ne sais pas quand.)
Aussi, pour sy opérateurs mmétriques (ou formes quadratiques) sur $ \ mathbf R ^ n $ tout cela est dans Weierstrass ( 1859), cf. p. 219.