Problème: la géométrie classique ne se contente pas des infinitésimales

Newton essaie systématiquement d'éviter de baser le calcul sur des quantités géométriques infinitésimales. Nous pouvons voir cela à partir de la façon dont il souligne que sa méthode est cohérente avec le standard de rigueur "ancien":

Instituer une Analyse de cette manière en Quantités finies ... est conforme à la Géométrie des Anciens ... dans la Méthode des Fluxions, il n'est pas nécessaire d'introduire des Figures infiniment petites dans la Géométrie.

(Page 4 de la traduction anglaise citée dans la question, page 6 de cette édition latine numérisée - notez que les numéros de page se réfèrent à la numérotation telle qu'imprimée sur les pages d'arbre mort numérisées réelles, et non à la numérotation électronique.)

Solution: encadrer les fondations en termes de mouvement, pas la géométrie

Le calcul a à la fois une interprétation géométrique et une interprétation dynamique - pensez aux lignes tangentes par rapport aux taux de changement. Vous apprenez cela très tôt. Mais les arguments directement en termes de figures géométriques infinitésimales ne rentrent pas dans la géométrie classique. Si vous faites appel au mouvement et au changement, vous pouvez utiliser des concepts parfaitement raisonnables et familiers. Par exemple, une ligne sécante qui se déplace et devient une ligne tangente semble beaucoup plus crédible que de supposer que vous pouvez simplement prendre deux points "infiniment proches" et passer la ligne sécante à travers eux. Il y a des gestes de la main dans les deux sens, mais ce dernier va directement à l'encontre de la géométrie classique, qui, rappelez-vous, était la norme de rigueur. Le calcul du cadrage en termes de mouvement déplace le fondement controversé de la géométrie , où il serait soumis à un examen plus strict.

Dans cet esprit, nous pouvons interpréter la citation comme mettant l'accent sur le point de vue dynamique. Essentiellement, Newton dit: ne vous inquiétez pas, nous n'allons pas faire de géométrie infinitésimale. Nous n'allons pas casser une ligne ou quoi que ce soit en parties infinitésimales absurdes, ce qui n'est peut-être pas vraiment possible. Visualisez simplement une ligne comme le chemin tracé par un point mobile. Avec ce point de vue, nous pouvons faire appel à des concepts comme la vitesse pour justifier nos arguments. Nous pouvons utilement appliquer le calcul à la géométrie, sans avoir une géométrie ouvertement infinitésimale.

Et bien sûr, la perspective aide à enseigner l'interaction importante entre les interprétations géométriques et dynamiques du calcul.

P.S. Notes sur la citation

Pour être complet, voici la citation en latin:

Quantite Mathematicas non ut ex partibus quam minimis constantes, sed ut motu continuo descriptas hic considero. Lineae describeantur ac describeendo generantur non per appositionem partium, sed per motum continuum punctorum; ...

(page 3)

Vous aviez des hypothèses sur certains mots et expressions particuliers de la citation, voici donc mes commentaires sur eux en particulier.

• Vous avez deviné que "quantités mathématiques" ("Quantitates Mathematicas") signifie courbes. Il semble que cela signifie simplement des quantités. Par exemple, comparez avec la page 5 du latin, page 4 de l'anglais: " Fluat quantitas $ x $ uniformiter & invenienda sit fluxio quantitatis $ x ^ n $ . "(" Laissez la quantité $ x $ circuler uniformément, et qu'il soit proposé de trouver le fluxion de $ x ^ n $ . ") Clairement $ x $ et $ x ^ n $ sont des quantités numériques.
• "Parties" et "points" ne sont pas le même mot ("partium" vs "punctorum"); en fait, Newton oppose les deux. Les parties sont des pièces en lesquelles vous divisez quelque chose. Les points sont des points, bien que puisque vous les considérez comme en mouvement, vous pourriez dire des particules ponctuelles. Je suis sûr qu'il y a plus à dire sur ce qu'est un point selon Newton.

Bien que Newton essayait certainement d'éviter les infinitésimales, il y a une certaine distance entre "pas d'infinitésimales" et "pas de points", après tout, nous avons maintenant un calcul avec des points mais sans infinitésimales. De plus, le but de Newton n'était pas d'inventer le calcul, mais d'analyser le mouvement, ses raisons étaient donc un peu plus profondes. La Flèche paradoxe de Zeno soutient que si le temps consistait en des instants, la flèche volante ne bougerait jamais, car en un instant, il n'y a aucune différence entre la flèche en vol et la flèche au repos. Zenon, et Platon après lui, ont conclu que le mouvement n'est qu'une illusion et devrait être banni de la géométrie, position fidèlement suivie dans les éléments d'Euclide, mais manifestement inacceptable pour Newton.

Aristote a proposé une résolution alternative qui "sauvait" mouvement: le temps ne se compose pas d'instants, une grandeur ne peut être décomposée qu'en plus petites magnitudes, mais jamais en points. C'était le prix à payer pour faire voler la flèche, voir l'objection d'Aristote au paradoxe de Zénon. Après Euclide, certains géomètres proéminents, notamment Archimède et Apollonius, ont considéré des courbes générées en combinant des mouvements linéaires et circulaires. Newton connaissait très bien ces courbes, ainsi qu'Aristote et Euclide. Fermat et d'autres ont essayé de contourner le problème avec des infinitésimales, mais le mouvement lui-même a fourni à Newton une alternative naturelle, ce que nous appelons maintenant des limites, et ce qu'il a appelé "premier et dernier rapport". Comme il l'écrivait dans Principia: " Les quantités et les rapports de grandeurs qui en temps fini convergent continuellement vers l'égalité et avant la fin de ce temps se rapprochent plus que par une différence donnée, deviennent finalement égaux ".

La définition de Newton ressemble à l'explication moderne des limites, mais pour en faire une définition aujourd'hui, nous utilisons trois quantificateurs imbriqués $ \ forall \ varepsilon>0 \, \ exists \ delta \, \ forall x: | x-x_0 | < \ delta \ Rightarrow | f (x) -a | < \ varepsilon $. La syllogistique d'Aristote, la seule logique connue de Newton, n'avait pas de quantificateurs, et tandis que $ \ forall x $ peut être simulé avec des variables, $ \ existe x $ avec des constantes, et même $ \ forall x \ existe y \, P (x, y) $ avec la fonction implicitement définie $ y = f (x) $, la combinaison $ \ forall \ exists \ forall $ nécessaire pour exprimer la convergence vers les limites est au-delà. Mais ce n'est pas au-delà de l'interprétation cinématique, qui simule la dépendance de quantificateur manquante, mais nécessite que les lignes et autres grandeurs soient générées par des mouvements en premier lieu. Ainsi, la citation dans le PO est essentiellement la définition de Newton de «quantité». Les «premier et dernier rapports» de Newton parviennent à exprimer le concept de limite moderne sans quantificateurs, mais aux dépens aristotéliciens de sacrifier la décomposition des grandeurs en points.

Ceci est expliqué par Friedman (pp. 477-481) Kästner dans ses manuels de mathématiques influents, remarquablement pour un auteur allemand du 18ème siècle, " soutient que les fluxions de Newton sont à certains égards plus clair et plus clair que les différentiels de Leibniz. De plus, il applaudit explicitement la tentative de Collin Maclaurin, dans son monumental Traité de Fluxions (1742), de développer le calcul sur la base d'une conception cinématique de l'opération limite " . Et « lorsque l'interprétation cinématique a été explicitement critiquée par des mathématiciens comme D'Alembert et l'Huilier à la fin du XVIIIe siècle, ce n'était pas pour des raisons de cohérence et de cohérence mais parce qu'on pensait qu'elle importait un ou" étranger " "élément physique en mathématiques pures ".

Étant donné que Newton a développé une grande partie de ce que nous définissons maintenant comme Calcul I, il est logique qu'il considère les lignes comme continues / différentiables, par opposition à ses contemporains qui auraient pu les considérer uniquement comme une collection finie de segments de ligne plus petits ou

Le calcul est, après tout, l'analyse du changement de «quantités mathématiques» à des distances infiniment petites. Mon interprétation: Newton prétend qu'il travaille avec des lignes sous l'hypothèse qu'il y a un "mouvement continu" ou différentiabilité à chaque point.

Commentaire (dans la fenêtre de réponse pour la seule raison de pouvoir inclure la citation originale du livre de Descartes):

Ce fil semble encore manquer de remarque de base que probablement les raisons de Newton étaient beaucoup moins une attitude négative envers la construction d'une ligne à partir de pièces que plutôt un attachement positif à la longue tradition de favoriser contructibilité en géométrie (non seulement chez les auteurs grecs, mais aussi chez Descartes, dont les travaux ont fortement influencé Newton). Dans 'Livre premier' de La Géométrie, Descartes (1) déclare qu'à son avis, il faut trouver une méthode pour dessiner une courbe que l'on connaît déjà comme un ensemble de points, (2) reproche à Pappus de ne pas avoir suffisamment «décrit» les courbes qu'il avait indirectement déterminées. Je soutiens que des déclarations normatives comme «il est aussy requis de [...] tracer la ligne» de Descartes ont eu un effet sur Newton.

(Source: Descartes: La Géométrie, première édition, fac-similé dans une édition de 1925 par «The Open Court Publishing Company»)

Comme des traductions sont disponibles, je ne traduis pas la page ci-dessus. (Sauf pour l'orthographe archaïque, c'est un français facile, encore compréhensible si l'on connaît le français contemporain.)