Question:
Comment et quand la preuve de Bolzano du théorème de Bolzano-Weierstrass a-t-elle été redécouverte?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
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J'ai toujours été curieux de savoir à quel point les grandes idées oubliées sont redécouvertes. Cette question: Existe-t-il des sources écrites (du XIXe siècle) exprimant la croyance que la propriété de valeur intermédiaire équivaut à la continuité? m'a conduit à l'article suivant:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - Pas aussi inconnu de ses contemporains qu'on le croit généralement?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (Paywall d'Elsevier , désolé je n'ai pas pu trouver une version libérée.)

qui dit que "Herman Hankel est crédité d'avoir été le premier à porter Bolzano à l'attention générale de la communauté mathématique en 1871. " (et Schubring poursuit en affirmant qu'en fait, le travail de Bolzano était probablement connu du cercle de Crelle à Berlin vers 1825 avant d'être oublié.)

Comment Hankel a-t-il découvert le travail de Bolzano et reconnu que Bolzano avait la priorité sur Weierstrass?

Un répondre:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
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Avertissement juste: cette réponse ne répond pas complètement à la question, mais je pense qu'elle peut répondre à la question aussi bien qu'il est possible de le faire.

L'article que Hankel a écrit (publié en 1971) qui est généralement crédité pour avoir "redécouvert" le travail de Bolzano était un article dans la section 1 Theil 90 (Gregorius - Grezin) de Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste, l'une des plus grandes encyclopédies jamais écrites (couvrant 167 volumes malgré inachevé). Vous pouvez lire cette section librement ici sur Google Livres. L'article de Hankel porte sur "Grenze" ("limites").

Le paragraphe pertinent concernant Bolzano se trouve aux pages 209-210, tout en discutant de l'histoire de l'analyse. Je vais fournir une traduction approximative en anglais moderne de ce paragraphe. Je dois noter que je ne connais presque pas l'allemand, donc la traduction est beaucoup de suppositions, et je peux me tromper à certains endroits. Quiconque connaît l'allemand devrait se sentir libre de noter les erreurs.

Pire encore, un autre contemporain resté alors et maintenant presque entièrement inconnu des mathématiciens: nous devons récupérer la priorité du premier développement rigoureux dans le série d'analyses algébriques en faveur de l'excellent Bernhard Bolzano. Les notions de Bolzano de la convergence des séries sont écrites assez clairement et correctement, ses opérations avec des séries infinies sont toutes strictement prouvées, et rien ne va pas avec le développement de ces énoncés pour des arguments réels, qu'il suppose partout. Dans la préface, il donne une critique appropriée des dérivations précédentes du théorème binominal et ensuite de l'utilisation ordinaire sans restriction de séries infinies. Bref, cette œuvre n'était pas seulement un art français, il fallait le placer à cet égard au même niveau que Cauchy, et exposer ses pensées d'une manière agréable. Mais Bolzano resta inconnu et fut bientôt oublié; Cauchy a été le chanceux, celui qui a été salué comme un réformateur de la science et dont les écrits élégants ont trouvé en peu de temps une diffusion générale.

Dans ce paragraphe, Hankel attribue à Bolzano le mérite d'avoir développé une grande partie des fondements de l'analyse indépendamment de (et des années auparavant) Cauchy. Cependant, le travail de Bolzano est resté inconnu, tandis que Cauchy, qui était bien connecté dans les cercles mathématiques français, a trouvé facile de communiquer son travail. Hankel ne mentionne pas où ni comment il a trouvé le travail de Bolzano.

Quelques commentaires historiques s'imposent ici. 1871 est une année importante; plus précisément, c'est l'année de la guerre franco-prussienne, une période de forte fierté nationale en Allemagne et d'aversion générale pour tout ce qui est français. L'encyclopédie dans laquelle Hankel écrivait était censée être une sorte d'encyclopédie «pour et par le peuple allemand». Hankel n'aurait sûrement pas été heureux d'avoir à donner le crédit de développer l'analyse à Cauchy, un Français. Il valait mieux le donner à Bolzano. Bien sûr, Bolzano n'était pas le mathématicien allemand idéal, ayant passé la majeure partie de sa carrière universitaire en Autriche, et étant autant philosophe et théologien que mathématicien (et controversé en plus), mais il parlait et écrivait en allemand, et, tout aussi important, n'était pas français. Et Bolzano a vraiment fait (pour la plupart) les choses que Hankel lui attribuait. Pour être clair, je n'accuse Hankel d'aucun acte répréhensible en le signalant, en disant seulement qu'il avait un intérêt considérable à en attribuer autant qu'il le pouvait à Bolzano.

Cependant, il y a quelque chose d'un problème attribuer le développement des limites de l'analyse à Bolzano sur Cauchy, bien qu'il soit plus philosophique que mathématique. Bolzano avait probablement une interprétation très différente de ses théorèmes que les lecteurs ultérieurs. En effet, dans "Les travaux mathématiques de Bernard Bolzano", Steve Russ soutient que Bolzano n'aurait pas du tout pensé à ses théorèmes en termes de limites, qu'il aurait associées aux infinis mêmes qu'il essayait de supprimer. À partir des pages 146-147:

Cependant, la reconnaissance moderne du travail de Bolzano pose un problème historique. De l'article de Hankel en 1871 aux extraits de Bitkhoff (1973), les commentateurs ont été enclins à accorder un crédit particulier à Bolzano pour des choses qu'il voyait à l'époque sous un jour très différent de ces critiques ultérieurs. On pense ici au concept arithmétique de limite et au concept de convergence des séries infinies qui sont couramment adoptés aujourd'hui. Ces concepts avaient longtemps été utilisés sous une forme ou une autre, et à en juger par d'autres exemples dans ses écrits, Bolzano n'aurait pas été trop modeste pour les revendiquer comme nouveaux et originaux s'il les avait considérés comme tels. Il ne le fait pas. Sans aucun doute, il avait une grande confiance dans ces définitions; ils répondaient à ses exigences conceptuelles, il savait qu'elles seraient fructueuses et efficaces dans le développement de l'analyse, mais il ne prétend jamais qu'elles sont les siennes ...

Il est communément admis que suite à l'introduction de grandeurs étiquetées ω ou Ω, éventuellement avec des indices, il est décrit dans BL §14 et suiv. une théorie assez standard des limites. L'ironie est que Bolzano, avec la plupart de ses contemporains, aurait associé des limites à des processus infinis (ou des quantités infiniment petites). Et donc il aurait, à ce moment, été horrifié d'être associé à une telle théorie. Des remarques similaires s'appliquent à ses travaux sur la convergence des séries. Il croyait traiter la série binomiale pour les exposants négatifs et rationnels d'une manière purement finie. La manière dont il utilise ses ω quantités - quantités variables qui peuvent devenir inférieures à une quantité donnée, ou qui peuvent devenir aussi petites que nous le souhaitons, fait naturellement appel à une gamme infinie de valeurs. On pourrait les appeler «arbitrairement petites quantités». Rusnock suggère qu'un tel concept d'une variable qui peut devenir aussi petite que souhaité était courant à l'époque. C'est une sorte de contrepartie à une grandeur physique variable. Il suggère que les ω de Bolzano pourraient être interprétés comme des plages de valeurs contenant zéro ...

C'est-à-dire que le jugement de Hankel sur Bolzano en tant que découvreur indépendant du Une théorie rigoureuse des limites dans l'analyse, bien que correcte en termes de contenu mathématique , est sûrement fausse si l'on prend en compte les aspects philosophiques de son travail. Mais bien sûr, même si Hankel s'en rendait compte, il n'avait pas grand-chose à gagner à le signaler explicitement dans son article. En tout cas, ni les méthodes de Bolzano ni ses théorèmes n'étaient moins rigoureux que ceux de Cauchy; juste son interprétation des définitions et du contenu des théorèmes était différente.

En tout cas, vous noterez que Hankel n'a pas mentionné spécifiquement Bolzano-Weierstrass, ni le théorème des valeurs intermédiaires (qui était le but ultime de Bolzano, vers lequel Bolzano-Weierstrass n'était qu'un lemme). Ce n'est pas terriblement surprenant. Alors que Hankel était probablement au courant du résultat de Weierstrass (ils se connaissaient bien, Hankel ayant travaillé avec Weierstrass à Berlin en 1861 avant son doctorat), il était probablement trop récent pour apprécier sa signification, surtout dans le contexte de ce genre de publication. Il n'est même pas clair que Hankel ait lu les parties du travail de Bolzano liées au théorème des valeurs intermédiaires; les parties qu'il cite dans l'article sont ailleurs. Ce n'est donc pas vraiment Hankel qui a établi la priorité de Bolzano ici.

Après la citation originale de Hankel, certains mathématiciens sont revenus et ont lu les différents travaux de Bolzano, les réinterprétant dans un langage plus moderne. Otto Stolz en particulier est crédité d'avoir redécouvert et republié nombre de ses travaux mathématiques en 1881. Cela comprenait l'article pertinent, Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , qui précède Weierstrass et même Cauchy, établissant la priorité de Bolzano pour le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Bolzano-Weierstrass. Un certain nombre d'autres mathématiciens et philosophes allemands influents ont également lu les travaux de Bolzano, et quelques autres résultats mathématiques intéressants ont été trouvés. Son héritage a probablement été cimenté dans les diverses notes historiques du très influent (au moins à Göttingen) Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, qui mentionnent à plusieurs reprises son travail comme étant très en avance sur son temps.

Cela répond à la question sur Bolzano-Weierstrass, mais il reste une question sans réponse, à savoir, comment Hankel a-t-il même trouvé Bolzano en premier lieu (ce qui était une grande partie de votre question initiale). Je ne connais pas la réponse à cela et, à ma connaissance, personne ne le sait. Peut-être pensait-il qu'il existait une école de philosophie analytique d'Europe de l'Est qui, au début du XIXe siècle, traitait des questions liées à l'infini et n'était pas satisfait de l'approche informelle du calcul de Leibniz. Ou peut-être, en écrivant l'article, il a eu une conversation avec quelqu'un (peut-être quelqu'un qui connaissait le travail de Bolzano de la période des années 1820 mentionné dans l'article que vous avez cité, ou peut-être même pas un mathématicien) qui lui a suggéré de regarder dans cela direction. Hankel a fait une quantité décente d'études sur l'histoire des mathématiques (bien que ses travaux historiques aient généralement des erreurs notables), soulignant également l'importance du travail de Hermann Grassmann en 1867, deux décennies après l'arrêt de Grassman. faire des mathématiques, il avait donc certainement une compréhension plus large des travaux de ses prédécesseurs que le mathématicien moyen de son temps. Personne ne sait comment exactement Hankel a trouvé Bolzano, mais une fois qu'il l'a fait, il est assez clair qu'il n'allait pas simplement l'ignorer dans son article, indépendamment de ce que Bolzano a fait / n'a pas pensé sur la façon d'interpréter ses résultats. Hankel est mort en 1873, deux ans seulement après la publication de l'article, et à ma connaissance, il n'a plus jamais commenté le travail de Bolzano. Alors que l'on pourrait être en mesure de suivre les mouvements de divers mathématiciens de 1817 à 1871 pour essayer de comprendre comment l'idée aurait pu être transmise à Hankel (une tâche apparemment herculéenne, mais pas techniquement impossible), au mieux, nous nous retrouverions avec une supposition, et la vérité est probablement perdue pour l’histoire.



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