La citation est tirée de la remarque faite par Gödel après la conférence de Robinson à l'Institute for Advanced Study de Princeton en mars 1973. Elle est reproduite dans la préface de la deuxième édition de Robinson's Non-Standard Analysis (1974). Voici le texte intégral de la remarque (la mienne en gras):

" Je voudrais souligner un fait qui n'a pas été explicitement mentionné par le professeur Robinson, mais qui me semble assez important ; à savoir que l'analyse non standard simplifie souvent substantiellement les preuves, non seulement des théorèmes élémentaires, mais aussi des résultats profonds. Cela est vrai, par exemple, aussi pour la preuve de l'existence de sous-espaces invariants pour les opérateurs compacts, sans tenir compte de l'amélioration du Cet état de fait devrait empêcher une interprétation erronée assez courante de l'analyse non standard, à savoir l'idée qu'il s'agit d'une sorte d'extravagance ou de mode des mathématiciens logiciens. Rien ne pourrait être plus loin de la vérité. Il y a plutôt de bonnes raisons de croire que l'analyse non standard, dans une version ou une autre, sera l'analyse du futur .

Une des raisons est la simplification des preuves que nous venons de mentionner, car les simplifications facilitent la découverte. Une autre raison, encore plus convaincante, est la suivante: l'arithmétique commence par les nombres entiers et procède en agrandissant successivement le système des nombres par des nombres rationnels et négatifs, des nombres irrationnels, etc. Mais l'étape suivante tout à fait naturelle après les réels, à savoir l'introduction des infinitésimaux , a simplement été omis. Je pense que dans les siècles à venir, il sera considéré comme une grande bizarrerie dans l'histoire des mathématiques que la première théorie exacte des infinitésimaux ait été développée 300 ans après l'invention du calcul différentiel. J'ai tendance à croire que cette bizarrerie a quelque chose à voir avec une autre bizarrerie relative au même laps de temps, à savoir le fait que des problèmes tels que celui de Fermat, qui peut être écrit en dix symboles d'arithmétique élémentaire, ne sont toujours pas résolus 300 ans après ils ont été posés. L'omission mentionnée est peut-être en grande partie responsable du fait que, par rapport à l'énorme développement des mathématiques abstraites, la solution de problèmes numériques concrets a été laissée loin derrière. "

Dans un note courte À propos des perspectives d'analyse non standard Gordon cite Zeilberger suggérant une manière particulière de réaliser la prédiction de Gödel:

" L'analyse continue et la géométrie sont juste dégénérées approximations du monde discret ... Alors que l'analyse discrète est conceptuellement plus simple ... techniquement, elle est généralement beaucoup plus difficile ... les mathématiques continues sont une approximation du discret contrairement au point de vue traditionnel. Dans cette approche, la notion d'un très grand ensemble fini est très importante et la définition d'un ensemble hyperfini en NSA est une formalisation appropriée de cette notion qui satisfait les exigences modernes de rigueur mathématique. "

La prédiction NSA vient du même endroit qu'une autre prédiction de Gödel, à propos de l'hypothèse du continuum. Après que Cohen l'ait prouvé indépendant de ZFC, Gödel a suggéré que de nouveaux axiomes seraient «découverts» pour le résoudre. La racine est son réalisme mathématique (souvent confondu avec le platonisme), qui dicte qu'il existe une «vraie» mathématique, fonctionnant comme la physique de l'idéal:

" Malgré leur éloignement du sens expérience, nous avons quelque chose comme une perception des objets de la théorie des ensembles, comme le montre le fait que les axiomes s'imposent à nous comme étant vrais. Je ne vois aucune raison pour laquelle nous devrions avoir moins confiance en ce genre de perception, c'est-à-dire dans l'intuition mathématique, que dans la perception sensorielle ".

Voir Théorèmes et physique de l'incomplétude de Gödel de da Costa.

Dans les années 1970, Gödel recommanda à Robinson de devenir membre de la British Academy of Sciences. Sa recommandation était basée en partie sur le cadre d'analyse de Robinson avec des infinitésimaux. Du point de vue du réalisme de Gödel, la signification du travail de Robinson était d'étendre davantage le système de nombres ordonnés, au-delà des nombres naturels, entiers, rationnels et réels, afin d'inclure les nombres hyperréels (par exemple, les infinitésimaux). Robinson, pour sa part, ne souscrivait pas aux vues réalistes sur la théorie des ensembles, et écrivit explicitement qu'il ne considérait pas la théorie des ensembles comme un «fondement» des mathématiques. Dans une correspondance privée, Gödel a réprimandé Robinson pour avoir exprimé des opinions contraires aux idées réalistes de Gödel sur les systèmes de nombres! Pour Gödel, la signification du travail de Robinson était de pouvoir donner une formulation mathématique précise dans des cadres fondamentaux actuellement acceptables aux idées de Leibniz sur les nombres infinitésimaux et infinis. Robinson et Gödel étaient d'accord dans leur admiration pour Leibniz.