Vous pouvez voir Historique du concept de fonction.

Pour Euler (1748):

une fonction d'une grandeur variable est une expression analytique composée de quelque manière que ce soit de la quantité variable et des nombres ou des quantités constantes

ie une fonction était une «expression symbolique» qui, recevant une valeur comme «entrée», nous permet de calculer une valeur de «sortie» correspondante.

Il semble que ce soit dans Dirichelet (1837, page 135 ), que nous pouvons trouver la première définition explicite du concept de fonction comme "coerespondence arbitraire":

Si maintenant un unique fini $ y $ correspondant à chaque $ x $ , et de plus de telle manière que lorsque $ x $ varie en continu sur l'intervalle allant de $ a $ à $ b $ , $ y = f (x) $ varie aussi continuellement, alors $ y $ est appelée une fonction continue de x pour cet intervalle.

Il n'est pas du tout nécessaire ici que $ y $ soit donné en termes de $ x $ par une seule et même loi partout l'intervalle entier, et il n'est pas nécessaire qu'il soit considéré comme une dépendance exprimée à l'aide d'opérations mathématiques [italique ajouté].

Je recommande un excellent compte rendu de Luzin dans le mensuel: MR1615544, MR1613935 (American math Monthly 105 (1998), 1 59-67 et 3, 263-270.

On oublie généralement qu'il y a sont en fait plusieurs notions de fonction différentes en mathématiques modernes. L'une est la définition de Dirichlet qui est généralement citée (où deux ensembles sont donnés X et Y, et une règle qui à chaque élément de X met en correspondance un élément de Y). X fait partie de la définition!

Donc le problème du type "trouver le domaine de $ \ log ((x-1) (x-2)) $ n'a aucun sens du point de vue de ceci

Au 18ème siècle, Euler comprenait une fonction comme une expression analytique dont le domaine n'est pas donné à l'avance. Cette notion différente (de la définition de Dirichlet) n'est pas "dépassée". Elle a évolué vers une définition d'une "fonction analytique". En gros, une "expression analytique" a un "domaine naturel de définition", qui n'est pas donné à l'avance. Et les problèmes de type "trouvent le domaine o f définition "d'une fonction analytique a un sens parfait en mathématiques modernes.

Il existe également d'autres notions de fonctions en mathématiques modernes (fonctions généralisées, ou distributions), qui ne rentrent pas non plus dans la définition de Dirichlet. De plus, ces fonctions généralisées sont en un certain sens plus proches de ce que les physiciens et ingénieurs entendent par fonction que la définition de Dirichlet.

Juste pour ajouter. Après avoir donné une définition standard et moderne de la fonction, Stephen Abbott (à la page 7 de Comprendre l'analyse ) note:

Cette définition de fonction est plus ou moins la celui proposé par Peter Lejeune Dirichlet (1805–1859) dans les années 1830. Dirichlet était un mathématicien allemand qui a été l'un des leaders dans le développement de l'approche rigoureuse des fonctions que nous sommes sur le point d'entreprendre. Sa principale motivation était de démêler les enjeux de la convergence des séries de Fourier. Les contributions de Dirichlet figurent en bonne place dans la section 8.3, où une introduction à la série de Fourier est présentée, mais nous rencontrerons également son nom dans plusieurs chapitres précédents en cours de route. Ce qui est important pour le moment, c'est que nous voyons comment la définition de la fonction de Dirichlet libère le terme de son interprétation en tant que type de «formule». Dans les années précédant l'époque de Dirichlet, le terme «fonction» était généralement compris comme désignant des entités algébriques telles que $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ ou $ g (x) = \ sqrt {x ^ 4 + 4} $. [La définition ci-dessus] permet un éventail beaucoup plus large de possibilités.

Je ne pense pas que ce soit aussi clair que l'opinion populaire ("Euler ne pensait qu'aux expressions symboliques, tandis que Dirichlet en donnait la définition moderne") nous le fait croire. Considérons par exemple cette définition des fonctions des travaux ultérieurs d'Eulers, Institutiones calculi differentialis , 1755, Préface p.VI ::

Ainsi quand certaines quantités dépendent tellement d'autres quantités, que si les dernières sont modifiées, les premières subissent des modifications, alors les premières sont appelées fonctions des secondes; cette définition s'applique assez largement et toutes les manières dont une quantité pourrait être déterminée par d'autres y sont contenues. Si donc $ x $ désigne une quantité variable, alors toutes les quantités, qui dépendent de $ x $ de quelque manière que ce soit, ou sont déterminées par elle, sont appelées fonctions de celle-ci.

Des exemples sont $ x ^ {2 } $, le carré de $ x $, ou toute autre puissance de $ x $, et même des quantités qui sont composées avec ces puissances de quelque manière que ce soit, même transcendantales, en général, tout ce qui dépend de $ x $ de telle manière que lorsque $ x $ augmente ou diminue, la fonction change. De ce fait surgit une question; à savoir, si la quantité $ x $ est augmentée ou diminuée, de combien la fonction est-elle modifiée, si elle augmente ou diminue?

À mon avis, ce n'est pas substantiellement différent de ce que Dirichlet a dit .

De plus, Dirichlet n'a jamais parlé d'ensembles ou du domaine ou du codomaine d'une carte, pas plus qu'il n'a appelé la "règle" la fonction, comme le fait la définition moderne que l'on trouve dans tous les livres. Voir aussi Qui a d'abord considéré le $ f $ dans $ f (x) $ comme un objet en soi, et qui a décidé de l'appeler une fonction?