Il apparaît dans la démonstration du théorème d'hexagone de Pappus comme un outil de la démonstration.

étant donné un ensemble de points colinéaires A, B, C et un autre ensemble de points colinéaires a, b , c, alors les points d'intersection X, Y, Z des paires de lignes Ab et aB, Ac et aC, Bc et bC sont colinéaires, se trouvant sur la ligne de Pappus

(illustrations de l'article wikipedia)

(Remarque: la preuve de Pappus n'est pas valide dans le cas où C, c et X sont colinéaires, mais le théorème est néanmoins vrai.)

La proposition 129 du livre VII de Pappus dit que la projection d'une ligne à une autre garde le "rapport croisé". L'interprétation géométrique est le théorème de l'hexagone, la construction géométrique peut être trouvée éventuellement dans von Staudt.

Une belle conférence sur Pappus et le ratio croisé est sur youtube.

Pour construire un segment égal au cross-ratio, vous modifiez légèrement la première image dans l'article Wikipedia. Appelons $ P $ le point en haut où se croisent les 4 lignes noires.

Supposons que vous vouliez construire deux segments dont le rapport est égal au rapport croisé de 4 points donnés sur une ligne. En vous référant à cette image, supposons que vos points donnés soient $ A ', B', C ', D '$, et ils sont sur la ligne rouge $ L' $. Tracez ensuite une deuxième ligne rouge L, et choisissez le point $ P $ pour que $ PD '$ soit parallèle à $ L $. (Ou choisissez $ P $ arbitrairement, puis choisissez $ L $ parallèle à $ PD $). Ensuite, utilisez ce $ P $ comme centre de projection et projetez $ A ', B', C '$ sur $ L $ à partir de $ P $. Le rapport $ AC / BC $ sera égal au rapport croisé de $ A ', B', C ', D' $.

Pour obtenir la valeur "numérique" (la notion étrangère aux mathématiques grecques ; après la découverte de segments non commensurables, ils n'ont pas mesuré les segments avec des nombres; ils ne parlaient que de proportions, voir Euclide), il faut choisir l'unité de longueur. Supposons que $ BC $ a une longueur $ 1 $, puis $ AC $ est le rapport croisé.

Je n'ai pas vérifié avec Pappus, mais je suppose qu'il avait une construction similaire, s'il en avait.