Pour tout champ $ K $, $ c \ in K ^ \ times $ et entier $ n > 2 $, quand $ X ^ n - c $ est-il irréductible sur $ K $? Une condition nécessaire est que pour chaque nombre premier $ p $ divisant $ n $, $ c $ ne soit pas une $ p $ ème puissance en $ K $; sinon $ X ^ p - c $ serait réductible sur $ K $ (un facteur linéaire), donc $ X ^ n - c $ serait également réductible sur $ K $. Il s'avère que cette condition nécessaire est suffisante sauf si $ 4 \ mid n $, auquel cas nous devons également vérifier que $ c $ n'est pas de la forme $ -4d ^ 4 $ pour quelques $ d $ en $ K $ précisément à cause de la factorisation "inattendue" de $ X ^ 4 + 4d ^ 4 $ sur $ K $.

Ainsi, la seule subtilité dans la détermination de l'irréductibilité de $ X ^ nc $ sur $ K $ est due au type de factorisation remontant à Sophie Germain.

Algèbre de Lang consacre une section à l'étude de $ X ^ n - a $, et son irréductibilité est le premier résultat principal qu'il décrit.

En raison de sa simplicité, je suppose. L'identité est $ a ^ 4 + 4b ^ 4 = (a ^ 2 + 2b ^ 2-2ab) (a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2ab) $. L'identité est facile à vérifier mais difficile à déterminer en premier lieu. Nous sommes familiers avec $ a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (a-b) $, mais pas avec le genre $ a ^ 2 + b ^ 2 $ qui se divise en deux facteurs. Sachant également que la somme peut être factorisée par une telle identité, il est utile en théorie des nombres, en factorisant spécialement les nombres, en déterminant qu'un grand nombre est premier ou non. Vous pouvez consulter ici un exemple.