C'est l'un de ces cas où la signification d'un résultat n'est pas dans son contenu mais dans son utilisation. L'identité elle-même est triviale à vérifier, mais derrière elle se trouve une astuce qui est déraisonnablement utile dans le raisonnement théorique des nombres. C'est cela que Sophie Germain a souligné dans sa célèbre analyse du dernier théorème de Fermat, et c'est cela qui a apparemment incité Dickson à lui en attribuer la paternité. L'identité a depuis trouvé de nombreuses autres applications, y compris pour problèmes olympiades, comme montrer que $ 2015 ^ {4} + 4 ^ {2015} $ n'est pas premier ou résoudre $ 3 ^ r + 4 ^ s = 5 ^ t $ en entiers non négatifs, plus ici.

Sophie Germain ne le dit cependant pas tout à fait sous la forme de Dickson. Elle écrit " Aucun nombre de la forme $ p ^ 4 + 4 $ sauf que $ 5 $ est un nombre premier, car $ p ^ 4 + 4 = (p ^ 2-2) ^ 2 + 4p ^ 2 $ et par conséquent ces nombres sont représentables de plusieurs manières sous la forme d'une somme de deux carrés. En général $ p ^ 4 + q ^ 4 = (p ^ 2-q ^ 2) ^ 2 + 2p ^ 2q ^ 2 = (p ^ 2 + q ^ 2) ^ 2-2p ^ 2q ^ 2 $. Ainsi, lorsque $ p ^ 4 + q ^ 4 $ est premier, il est certain que le nombre n'est ainsi exprimable que comme la somme d'un carré $ + $ ou $ - $ deux fois un carré. Les nombres $ 2 ^ {2 ^ i} + 1 $ ne sont qu'un cas particulier de la forme $ p ^ 4 + q ^ 4 $ ". L'identité utilisée ici découle de $ p ^ 4 + 4q ^ 4 = (p ^ 2 + 2q ^ 2) ^ 2-4 (pq) ^ 2 $ en factorisant la différence de deux carrés.

Dickson a également trouvé une occurrence antérieure de la même identité dans une lettre d'Euler à Goldbach en 1742, mais seulement dans un cas particulier $ 1 + 4x ^ 4 = (2x ^ 2 + 2x + 1) (2x ^ 2-2x + 1) $ . Consultez le manuscrit original et les références sur Théorème du jour.